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Julia (juliaa)
Neues Mitglied
Benutzername: juliaa
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:34: | 
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Hallo 
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Für k>0 ist die Funktion f gegeben durch f(x)=k*(-x(hoch3)+3x+4).
Bestimmt k so,dass der Graph von f mit der Tangenten im Hochpunkt eine Fläche mit dem Inhalt 45 einschließt.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand den Weg aufschreiben kann wie man diese Aufgabe berechnet. Also was man tun muss. Vielleicht kann sie ja auch jemand rechnen und mir dann das Ergebnis mitteilen, so dass ich einen Vergleich habe.
Vielen Dank für die Hilfe.
Lg Julia |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 735
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 06. Dezember, 2002 - 10:15: |
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f(x) = k(-x³+3x+4); f'(x) = 3k(-x²+1); f"(x)= -6kx
die
Extrempunkte, f'(ex)=0 liegen bei ex = ±1
ex = +1 ist also Hochpunkt(Maximum) für k > 0 da dann f"(ex)<0
die Tangente im Hochpunkt, y=k*6,
schneidet
f(x)
und die Fläche zwische f(x) und y=k*6,
von diesem Schnittpunkt bis ex = +1
soll 45 Einheiten sein.
um den Schnittpunkt, x=s zu finden ist
f(s) = k*6 nach s aufzulösen
k*(-s³+3s+4)=k*6
| | | s³-3s+2 = 0 | die Lösung s=1 , der Hochpunkt, | | | ist bereits bekannt,somit | | (s-1)(s²+s-1)=0 | division durch (s-1) | | s²+s-2 = 0 | noch zu lösen | | (s+2)(s-1)=0 | also Schnitt s = -2 | |
Nun soll also Integral( (6k - f(x))dx, von -2 bis 1 ) = 45 gelten
Integral( k*(6 + x³-3x-4)dx, von -2 bis 1 ) = 45 = F(1)-F(-2)
Stammfunktion F(x) = k*(2x + x^4/4 - 3x²/2)
F(1)-F(-2) = 45 ist nun eine simple lineare Gleichung in k
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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