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Jeanine (jeanine)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 121
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 10:47: | 
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Ich habe eine Aufgabe bei der ich zeigen soll, dassU=((x1;x2;x3;), x1 +2*x2 +3*x3 =0) >>>(wobei die Zahl nach dem x klein geschrieben ist, um die n-te folge anzugeben)<<< ein Teilraum von R³ ist. Diesen Teil der Aufgabe habe ich schon gelöst. Nun soll ich jedoch noch zeigen das die Vektoren b1=(-2;1;0) und b2=(-3;0;1) eine Basis von U bilden. Vielleich kann mir jemand hier weiter helfen, da ich keine Ahnung habe wie ich dies lösen kann. |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 179
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 12:42: |
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also,
schreibe die ebene U in parameterform um, und die wirst sehen, das die richtungsvektoren dann lauten:
r*(-2,1,0) und s*(-3,0,1)
das sind ja gerade die die du angegeben hast!
da diese beiden vektoren linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis von U!
mfg
tl198 |
Jeanine (jeanine)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 122
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 13:01: |
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Wie schreibt man den die Ebene U in eine Parameterdarstellung um? |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 758
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 14:57: |
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Hi Jeanine
Wie schon gesagt sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Du musst jetzt nur noch zeigen, dass sie U erzeugen. Dafür kannst du jetzt so vorgehen wie Ferdi Hoppen schon sagte.
x1+2*x2+3*x3=0
Das umschreiben in Parameterform ist hier nicht sonderlich schwer, denn der Ursprung liegt auf deiner Ebene. Dann suchst du noch zwei Punkte, die auf der Ebene liegen. Ich empfehle hier mal die Punkte (-2,1,0) und (-3,0,1) 
Jetzt nimmst du für die beiden Spannvektoren die Vektoren vom Ursprung zu jeweils einem der angegebenen Punkte und hast deine Parametergleichung. Stützvektor ist ganz einfach der Nullvektor.
Du könntest hier auch anders herum vorgehen. Du nimmst díe Vektoren b1 und b2 direkt als Parametergleichung und rechnest die dann in Koordinatenform um. Wenn du's richtig machst, erhältst du genau die Ebene von oben.
MfG
C. Schmidt |
Jeanine (jeanine)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 123
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 15:29: |
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Danke für die Erklärung.
Also ich habe es jetzt mal versucht. Bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist.
Für eine Parameterdarstellung gilt:
x = Ortsvektor + l*Richtungsvektor
Nun nehme ich die zwei Spaltenvektoren b1
(-2;1;0) und b2 (-3;0;1) um den Richtungsvektor zu erstellen: Richtungsvektor = (-3-(-2);0-1;1-0)
= (-1;-1;1)
Die Parameterform ist somit: x = (-2;1;0) + l*(-1;-1;1).
Kann mir Bitte jemand sagen ob diese Rechnung richtig ist. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 760
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:02: |
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Hi Jeanine
Du brauchst fü eine Ebene immer zwei Richtungsvektoren. Die nennt man dann Spannvektoren.(Dazu noch den Ortsvektor, den können wir aber bei dir weglassen).
Wir nehmen nochmal deine Ebene in Koordinatenform:
x1+2*x2+3*x3=0
Alle Punkte (x1,x2,x3), die diese Gleichung erfüllen, liegen auf deiner Ebene.
Drei Punkte, die auf der Ebene liegen:
(0,0,0)
(-2,1,0)
(-3,0,1)
Also Ortsvektor nehmen wir (0,0,0). Richtungsvektoren:
(-2,1,0)-(0,0,0)=(-2,1,0)
(-3,0,1)-(0,0,0)=(-3,0,1)
Als Ebenengleichung erbigt sich:
E: x=(0,0,0)+r*(-2,1,0)+s*(-3,0,1)=r*(-2,1,0)+s*(-3,0 ,1)
Das was du angegeben hast wäre eine Gerade, die in der Ebene liegt.
MfG
C. Schmidt |
Jeanine (jeanine)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 124
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:07: |
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Noch eine Frage!
Wenn man R³ als geometrischen Vektorraum auffasst, wird U zu einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält). Was ist eine Gleichung von E1?
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Jeanine (jeanine)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 125
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:09: |
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Noch eine Frage!
Wenn man R³ als geometrischen Vektorraum auffasst, wird U zu einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält). Was ist eine Gleichung von E1?
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 761
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:12: |
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Hi Jeanine
Das steht doch schon da!
Sogar auf zwei verschiedene Arten. Einmal ist die Ebenengleichung in Parameter- und einmal in Koordinatenform gegeben.
MfG
C. Schmidt |
Jeanine (jeanine)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: jeanine
Nummer des Beitrags: 127
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 16:36: |
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Danke für alles Christian,
Ich habe die letzte Frage geschrieben, bevor ich die letzte antwort von dir gelesen habe. Mir ist jetzt die gleichung klar.
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