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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 209
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 18:38: | 
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Hallo Kolegen,
neulich im Mathe LK wurde die Frage aufgeworfen wie man mit komplexen Zahlen in Wurzel Form rechnen kann.
Im reellen gibt es ja so etwas wie Potenz und Wurzelgesetze welche, wenn man es genau nimmt identisch sind, denn man kann ja im reellen die Wurzel als Potenz definieren. Die Frage ist nur ob jene Gesetze auf komplexe Zahlen ohne Einschrängung übertragbar sind. Ein Beispiel:
im Reellen gilt.
sqrt(a)*sqrt(b)=sqrt(a*b)
im Komplexen ist dies in der Regel nicht der Fall:
Gegenbeispiel:
sqrt(-1)*sqrt(-i)=i*i=i²=-1
sqrt((-1)*(-1))=sqrt(1)=1
also sind die Terme nicht identisch!
Was kann man nun machen?
Gruß N.
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DULL (dull)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: dull
Nummer des Beitrags: 93
Registriert: 06-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 20:18: |
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Hi Niels,
eine ganz befriedigende Antwort hab ich nicht gefunden, aber ich denke, das hat damit zu tun, dass die Wurzel von komplexen zahlen nicht eindeutig bestimmt ist. Beispiel: wurzel(i)
wurzel(i)=a+b*i
=> i=(a+b*i)^2
=> 0+i=a^2+2abi-b^2
=> a^2-b^2=0 und 2abi=i
1. Fall: a=b und 2a^2=1 => a^2=1/2
2. Fall: a=-b und -2a^2=1 => a^2=-1/2
der 2. Fall ist nicht sinnvoll, denn a,b sollen € R sein. 00> ich betrachte im Folgenden den 1. Fall:
a=b und a^2=1/2 => a=1/2 oder a=-1/2, also:
wurzel(i)= wurzel(1/2) + wurzel(1/2)*i
oder wurzel(i)= - wurzel(1/2) - wurzel(1/2)*i
Wurzel(i) ist nicht eindeutig.
Ich hoffe das erklärt einiges....
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 210
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 21:04: |
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Hi Dull,
das ist aber auch bei reellen Zahlen so und trotzdem gelten die Wurzelgesetze! denn:
wurzel(9)=3
aber (-3)²=9
=> Wurzel(9)=+-3
Ich denke das hat damit zu tun, das a) die Menge der Komplexen Zahlen kein Körper ist indem die "Anordnungsaxiome" gelten und b) vieleicht die Definition der Wurzeln im Komplexen anders ist als im reellen, so dass die reellen Wurzelgesetze nicht gelten.
Was meinst du dazu?
Gruß N. |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 265
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 21:08: |
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Hallo,
der Fehler in Niels' Überlegung ist geradezu klassisch - mit diesem scheinbaren Paradoxon haben wir seinerzeit schon versucht, unseren Mathematikprofessor in die Enge zu treiben.
Die Erklärung liegt nicht, wie von Dull vermutet, in der nicht gegebenen Eindeutigkeit der Wurzel (die Quadratwurzel ist immer zweideutig), auch nicht darin, dass etwa die formalen Rechengesetze im Körper IC der komplexen Zahlen nicht permanent sind, sondern in der Definition der imaginären Einheit selbst:
Die imaginäre Einheit i ist jene Zahl, deren Quadrat gleich -1 ist.
Somit liegt die Tatsache, dass i² = -1 ist, schon in der Definition begründet.
Die Beziehung i² = -1 darf daher keinesfalls so "auseinandergenommen" (aufgelöst) werden: i = sqrt(-1) -> i*i = sqrt(-1)*sqrt(-1) -> i*i = sqrt[(-1)*(-1)] = sqrt(1) = +1 oder -1.
Die Faktoren (-1) dürfen nicht aus der Wurzel herausgelöst werden, weil eben nur i = sqrt(-1) als GANZES bzw. i² = -1 definiert ist!
Gr
mYthos
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 211
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 08:36: |
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Hi Mythos,
gut, aber ich gebe mich noch nicht geschlagen:
nächstes Beispiel:
cubrt(-i)*cubrt(-1)
ist etwas anderes als
cubrt((-i)*(-1))=cubrt(i)
ich habe hier Bewusst für dies Beispiel die Kubikwurzel genommen damit ich nicht in "Mythos"
Falle tappe. Übrigens wenn man i² nicht auseinander ziehen darf sondern als Ganzes betrachten muß, dann müsste doch
i*i etwas anderes sein als i² oder nicht? das würde aber allen Grundrechenarten bei den komplexen Zahlen zuwiederlaufen.
Ich könnte auch noch weitere Beispiele aus anderen Gesetzen hier anführen die zu gleichartigen Prpblemen führen.
Es könnte auch sein, das die Anwendung mancher solcher Gesetze daran scheitert, das man bei Wurzlen immer Haupt und Nebenwerte bekommt also nicht eindeutig sind.
Was ist nun richtig?
Gruß N. |
Philipp (nuefz)
Neues Mitglied
Benutzername: nuefz
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 20:58: |
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Hallo Leute,
Ich weiß zwar jetzt nicht so ganz, ob ich mich durch die vielen i und -1 und sqrt(-1) ganz verwirren lassen habe und meine unten stehenden Bemerkungen völliger Nonsens sind bzw. ob sie irgendetwas mit dem Thema zu tun haben, aber vielleicht haben diese Probleme mit den Rechengesetzen ja etwas damit zu tun, das eigentlich i selbst zweideutig definiert ist, während i^2 eindeutig ist.
Denn:
Angenommen, man sagt jetzt einmal, es gibt eine Zahl, deren Quadrat -1 ist; dann bezeichnet man diese Zahl z.B. einmal mit i. Jetzt kann man aber genauso sagen, eigentlich hätte i ja auch als -i definiert werden können (ich weiß, das klingt jetzt irgendwie schwachsinnig, weil ja i zu diesem Zeitpunkt noch gar nicht definiert ist), weil ja auch genauso gilt:
(-i)^2 = (-1)^2*i^2 = i^2=-1
Also wenn man jetzt davon aus geht, dass es i noch nicht gibt, aber man jetzt eine dafür geeignete Zahl sucht, dann hat man ja eigentlich zwei Wahlmöglichkeiten, wobei man nicht angeben kann, welche jetzt eigentlich welche ist?
(Ich möchte mich entschuldigen, falls ich mich jetzt irgendwie total auf der falschen Fährte befinden sollte - den Beitrag einfach ignorieren und nicht weiter darüber nachdenken, sonst kennt sich im Endeffekt wirklich keiner mehr aus...)
Grüße, Nuefz |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 212
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 07:41: |
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Hi Phillip,
genau das habe ich mir auch gedacht!!
Wenn
i²=-1
dann gilt doch normalerweise
i=+-sqrt(-1)
Was ist nun also i genau?
Ist i=+sqrt(-1) oder i=-sqrt(-1) ?
Algemein dachte ich immer das
i=+sqrt(-1) und
-i=-sqrt(-1)
definiert ist. Obwohl das für weitere Rechnungen unerheblich ist, frage ich mich ob das etwas mit unseren Problemen zu tun haben könnte.
Hat jemand noch weitere Ideen und oder Lösungsvorschläge oder sonst irgendwas dazu mitzuteilen.
Ich bin weiter für Ansätze die zur Lösung jenes Problems führen offen.
viele Gruße N. |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 19
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 09:52: |
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Hallo Niels,
schon im Bronstein steht geschrieben:
z^(1/m) = (r * e^(if))^(1/m) = {r^(1/m) * e^((f+2kp)i/m) | k = 0,1,...,m-1}
Die m-te Wurzel ist also als m-elementige Menge definiert. Wenn man nun die Multiplikation von komplexen Wurzeln als Menge aller möglichen Produkte von Elementen beider Mengen auffasst, gelten die gewohnten Rechenregeln (nur eben mit mengenwertigen Ergebnissen; beachte die 2pi-Periodizität der Exponentialfunktion!).
Insbesondere ist
sqrt(-1)*sqrt(-1) = sqrt((-1)*(-1)) = {e^(0i) , e^(ip)}
cubrt(-i)*cubrt(-1) = cubrt((-i)*(-1)) ={e^(ip/6) , e^(5ip/6) , e^(9ip/6)}
(Beitrag nachträglich am 04., Dezember. 2002 von gjallar editiert)
Gruß,
Gjallar
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 213
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 14:56: |
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Hi heimdall,
und was bedeutet das im Klartext?
Gelten nun die "herkömlichen Rechengesetze" aus dem Reellen oder nicht?
Das die Wurzeln, speziell die Einheitzwurzeln jeweils für sich eine abelsche Gruppe bezüglich der Multiplikation bilden ist klar. Aber wie wirkt sich diese Tatsache auch die Rechengesetze aus.
Gruß N. |
heimdall (gjallar)
Mitglied
Benutzername: gjallar
Nummer des Beitrags: 20
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 16:00: |
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Hallo Niels,
ich hab mich offenbar unklar ausgedrückt; ich probier's nochmal:
Wenn du als "herkömmliche Rechenregeln" die Verwendung des Hauptwertes einer Wurzel verstehst, dann gelten sie nicht. Eben dein Gegenbeispiel
Ö-1 * Ö-1 = i * i ¹ Ö1
Aber das entspricht im Komplexen (im Gegensatz zum Reellen) einem unerlaubten Herauspicken der Rosinen (um Verwirrung zu stiften ;o)
Definitionsgemäß ist eine komplexe Wurzel die Menge aller Nebenwerte und der Hauptwert (vgl. Bronstein), und dann gelten selbstverständlich die gewohnten Rechenregeln (wobei die arithmetischen Operationen in kanonischer Weise über das Kreuzprodukt zu Mengenoperationen erweitert werden):
Ö-1 * Ö-1 = {i,-i} * {i,-i} = {i*i, i*(-i), (-i)*i, (-i)*(-i)} = {-1, +1}
Ö((-1) * (-1)) = Ö1 = {-1, +1}
Gruß,
Gjallar
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Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 214
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 17:26: |
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Hi heimdall,
nun habe ich es verstanden!
ist das den mit der Divison und den anderen Gesetzen auch so?
Müsste eigentlich so sein oder?
Gruß N. |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 183
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 04. Dezember, 2002 - 20:26: |
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Hallo
Bei den anderen Rechenarten (plus, minus, mal, Division) gibt es keine Probleme. Alle liefern eindeutige Ergebnisse (i. G. zum Wurzelziehen).
MfG Klaus |
smörre (smörrebröd)
Neues Mitglied
Benutzername: smörrebröd
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 02-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. Februar, 2003 - 03:43: |
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der fehler liegt darin, daß der schreiber die wurzel aus -i nicht zu ziehen versteht:
-i=a^2+2*a*b*i-b^2
d.h.a*a-b*b=0
i*(-1-2*a*b)=0
a=b=0,7071*i d.h.sqr(-i)=0,7071-0,7071*i
probe:
0,7071^2*(1-i)^2=0.5*(1-2*i-1).quod erat demonstrandum.
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