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Beitrag |
    
Nina (nina3310)
Junior Mitglied
Benutzername: nina3310
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 17:35: | 
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Hi, ich verstehe nicht, wie ich die Stammfunktion von f(x)=(e^(2*x)-1)/(2*e^x) bilden muss. Die Lösung habe ich zwar, ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich da überhaupt rangehen muss. Wäre also lieb, wenn mir das jemand mal etwas ausführlicher erklären könnte... Vielen, vielen Dank! |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 753
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 17:48: |
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Hi Nina
Wir formen das einfach mal ein bißchen um, dann erhältst du das Integral ganz einfach:
f(x)=(e^(2x)-1)/(2e^x)
=1/2*((e^(x))^2-1)/(e^x))
=1/2*(e^x-e^(-x))
Integral davon:
1/2*(e^x+e^(-x))
Im übrigen haben die Funktionen sogar einen eigenen Namen.
f(x)=1/2*(e^x-e^(-x))=sinh(x)
sinh ist der sinushyperbolicus.
Die Stammfunktion ist cosh, der cosinushyperbolicus. Die Funktionen hängen eng mit den Winkelfunktionen sinus und cosinus zusammen im Komplexen.
MfG
C. Schmidt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 170
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 17:48: |
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hm,
f(x)=(e^(2*x)-1)/(2*e^x)
=>dividiere aus!
e^(2*x)=> (e^x)^2 laut potenzgesetzen
=>(e^(2*x))/(2*e^x) = 0,5*e^x
-1/(2*e^x) => -0,5*e^(-x) wieder potenzgesetze
=> insgesammt folgt:
ò (e^(2*x)-1)/(2*e^x) dx
==> ò 0,5*e^x-0,5*e^(-x) dx
===> ò 0,5*e^x dx - ò 0,5*e^(-x) dx
so das ist jetzt wohl zu schaffen, hoffe ich hab mich nich verrechnet, müsste aber so stimmen!
mfg
tl198 |
Holger (matheholger)
Mitglied
Benutzername: matheholger
Nummer des Beitrags: 39
Registriert: 11-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 18:18: |
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Hallo Nina
Am besten ist, du teilst den Bruch auf:
| e2x - 1 | | e2x | | 1 | | | | f(x) = | ------- | = | ------- | - | ------ | | 2ex | | 2ex | | 2ex |
dann kürzt du
(Bedenke dabei, dass e2x = (ex)2)
| ex | | 1 | | f(x) = | ---- | - | --- | | | 2 | | 2ex |
Jetzt schreibst du alles um und denkst dran, dass e1 im Nenner bedeutet: e-1
f(x) = 0,5 ex - 0,5 e-x
Für die Stammfunktionen musst du wissen, dass gilt:
1. Eine Stammfu. von ex ist ex
2. Die Ableitung einer Stammfunktion ist die
Funktion selbst.
Der erste Summand 0,5 ex wird damit zu
0,5 ex.
Den 2. Summandem erhältst du, indem du dich fragst, welche Funktion ergibt abgeleitet
0,5 e-x?
Das e-xbleibt beim Ableiten erhalten. Aber, da man den Exponenten -x dabei nachdifferenzieren muss (Kettenregel), ergibt sich der Faktor -1, der beim Ableiten nach vorne kommt.
Der Term
- 0,5 e-x
ergibt abgeleitet 0,5 e-x
Also ist eine Stammfunktion zu
g(x) = 0,5 e-x
G(x) = - 0,5 e-x
Also ist die gesuchte Stammfunktion von f(x)
F(x) = 0,5 ex - (- 0,5 e-x) + c
oder
F(x) = 0,5 ex + 0,5 e-x + c
Viele Grüße
Holger |
Nina (nina3310)
Junior Mitglied
Benutzername: nina3310
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 20:01: |
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Vielen lieben Dank auch dreien! Ich hab's jetzt verstanden! Darf ich vielleiht gleich noch eine Frage stellen? Wenn ich z. B. das Integral (x^2+2*x)*e^(-x) habe, dann muss ich das doch mit der partiellen Integration lösen, oder? Mein Problem ist aber, dass ich nie das rauskriege, was auf dem Lösungsblatt steht. Könnte mir das einer evtl. mal "vorrechnen"? Wäre total lieb! |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 172
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 20:38: |
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ich hab ne bessere idee:
du hast die lösung ja schon, also schreib mal deinen lösungsweg ins board und wir schauen mal ob wir deinen fehler finden können! das finde ich sinnvoller!
mfg
tl198 |
Nina (nina3310)
Mitglied
Benutzername: nina3310
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 11:29: |
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Dann halt nicht, ist eh zu spät... Totzdem danke. |
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