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Beitrag |
    
Anja (romana)
Neues Mitglied
Benutzername: romana
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 15:49: | 
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Hallo, brauch bitte hilfe bei der folgenden Aufgabe:
Untersuche die gegenseitige Lage der Ebenen E und E'. Gib die Parametergleichung der Schnittgeraden an.
E: Vektor x= (1/0/3)+ r(1/0/0)+ s(1/1/0)
E': Vektor x= (2/3/2)+ t(0/1/1)+ u(2/0/1)
Sollen dies mit Hilfe der Determinanten ausrechnen.
Danke schon mal
Anja |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 303
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 15:55: |
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Hi,
mache ein Kreuzprodukt der Richtungsvektoren
=> Normalvektorform und dann Normalform
Und löse dann des Glsys. mit 3 Variablen;
Mit Determinanten wird des nit gehen;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 263
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 19:32: |
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Hallo,
wenn es nur auf die Lage der Ebenen ankommt, genügt es, zu prüfen, ob die Normalvektoren N und N' parallel (linear abhängig) sind.
|1 0 0|
|1 1 0| = N = (0;0;1)
|i j k|
|0 1 1|
|2 0 1| = N' = (1;2;-2)
|i j k|
N und N' sind sicher nicht parallel, wie auf den ersten Blick zu erkennen ist, also schneiden sich beide Ebenen in einer Geraden.
Wenn du noch genauer wissen möchstest, wie man die Gerade ermittelt, bitte um Nachricht.
[Lösung:
E: z = 3
E': x + 2y - 2z = 4
g: X = (10|0|3) + v*(-2;1;0)]
Gr
mYthos
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Anja (romana)
Neues Mitglied
Benutzername: romana
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 13:15: |
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Möchte bitte genauer Wissen wie man die Gerade ermittelt.
Danke |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 271
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 20:51: |
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Hallo,
nun, wir ermitteln zunächst die Gleichungen der beiden Ebenen. Von beiden haben wir bereits den Normalvektor.
Die Normalvektorgleichung der Ebene ist
N*X = c (c .. Konstante, N .. Normalvektor, X = (x;y;z), ist Ortsvektor zum laufenden Punkt der Ebene)
Der besseren Übersicht halber in Zeilenform:
E: (0;0;1)*X = c -> z = c
Um c zu ermitteln setzt du einfach einen beliebigen Punkt der Ebene ein, hier den gegebenen Stütz-(Anfangs-)punkt (1|0|3):
--> E: z = 3
Analog verfahren wir bei E':
(1;2;-2)*x = c' ->
x + 2y - 2z = c'; mit Punkt (2|3|2) ->
2 + 6 - 4 = c'
c' = 4
--> E': x + 2y -2z = 4
Wir lassen jetzt die beiden Ebenengleichungen koexistieren, d.h. wir lösen das von ihnen bestimmte Gleichungssystem auf.
Nachdem es 2 Gleichungen in 3 Variablen sind, haben wir 1 Freiheitsgrad zur Verfügung (d.h. eine Variable können wir an geeigneter Stelle durch einen Parameter ausdrücken. Wir wissen ja auch, dass in der Geradengleichung desgleichen ein Parameter vorkommt.
z = 3
x + 2y - 2z = 4
----------------
mit z = 3 in die zweite Gleichung ->
x + 2y = 10! Darin kann jetzt für eine Variable ein (möglichst einfacher) Parameterausdruck eingeführt werden: y = v!
x = 10 - 2v
y = v
z = 3
--------------
das ist die Lösung des Systemes in Parameterdarstellung und dies ist gleichzeitig die Parametergleichung der gesuchten Schnittgeraden!
--------------
x = 10 - 2v
y = 0 + 1*v
z = 3 + 0*v
--------------
Schnittgerade g: X = (10;0;3) + v*(-2;1;0)
Es gibt noch einen anderen interessanten Weg:
Der Richtungsvektor G der gesuchten Geraden muss wiederum normal auf die beiden Normalvektoren N und N' stehen:
G = N x N' =
|0 0 1 |
|1 2 -2| = (-2;1;0)
|i j k |
Somit haben wir bereits die Gleichung der Geraden G (mit noch unbekanntem Anfangspunkt A):
X = A(a1|a2|a3) + v*(-2;1;0)
A ermitteln wir durch dessen gleichzeitiges Einsetzen in die beiden anfangs gegebenen Ebenengleichungen:
(a1 = ) 1 + r + s = 2 + 2u
(a2 = ) s = 3 + t
(a3 = ) 3 = 2 + t + u
--------------------------
Die 3 Gleichungen in r, s, t, u implizieren wieder, dass eine dieser Variablen beliebig gewählt werden kann. a3 = 3 ist allerdings zwingend, weil konstant und daher nicht mehr änderbar!
Setzen wir t = -3, damit s = 0 und a2 = 0!
Aus der dritten Zeile folgt: u = 4, dies in die erste: a1 = 2 + 2u = 10. (Nicht mehr notwendig ist r, aber r = 9)
Somit ist A(0;10;3) und es ergibt sich wieder die bereits errechnete Gerade. Es können sich natürlich auch andere Anfangspunkte ergeben, je nachdem, welche Werte für die Parameter errechnet sind, aber alle liegen sie auf der Geraden.
Gr
mYthos
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