| Autor |
Beitrag |
    
Felipe (bigphil2002)
Neues Mitglied
Benutzername: bigphil2002
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 10:14: | 
|
Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:
1a)Zeige, das U={(x1;x2;x3)|x1+2x2+3x3=0}ein teiraum von R³ ist und die Vektoren b1=[-2;1;0) und b2=(-3;0;1) eine Basis von U.
(Beim x stehen 1,2 und 3 ein bißchen unter dem x und bei b1 und b2 steht darüber ein Pfeil)
b) Betrachte die drei Punkte
P=(1;1;1),
Q=(3;q2;q3) und
R=(2;5;r3)
Die fehlenden Komponenten q2,q3 und r3 sollen nun gewählt werden, dass die Vektoren PQ und PR linear abhängig sind und zugleich in E1 (bzw. U) liegen.
Warum liegen die drei Punkt P,Q und R auf einer Geraden g1? Gebe eine Gleichung dieser Geraden an und untersuche deren LAge zur ebene E1.
(Bei q, r und E stehen die ZAhlen wieder ein bißchen darunter und über PQ und PR stehen Pfeile.)
c) Die drei Punkt A=(0;0;0), B=(1;4;-3) und
C=(-1;2;3) sind die Eckpunkte des Dreiecks ABC. Dieses Dreieck liegt in der Ebene E2. Gebe eine Gleichung dieser Ebene an. Zeige, dass sich die Ebenen E1 und E2 in einer Geraden g2 schneiden und stelle eine Geradengleichung zu g2 auf. Wie verhalten sich die Geraden g1 und g2 zueinander? Die Dreiecksseite CB liegt auf der Geraden g3. Gebe auch für diese Gerade eine Gleichung an und untersuche deren Verhältnis zu g1.
( Bei E und g stehen die Zahlen wieder ein bißchen darunter)
Es wäre super, wenn Ihr mir ausführlcih helfen könntet, ich peile es nämlich nciht.}
|
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 167
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 12:34: |
|
hier mal auf die schnelle ein paar tipps:
schreibe die ebene u in parameterform um, dann wirst du es erkennen, was es mit der basis auf sich hat!
rechnung wäre zu lang: r3=-2, q2=9, q3=-5
die vektoren pq, und pr sind l.a. =>p,q,r liegen auf einer geraden, stelle sie z.b. durch p und q auf und mache die punktprobe mit r!
gerade und ebene sind parallel da skalarprodukt von normalenvektor und richtungsvektor der geraden=0
die ebene durch abc lautet 3x1+x3=0
e1 und e2 schneiden sich in der geraden:
x=(0;0;0)+t(1;4;-3)
g1 und g2 sind auch parallel da gleichen ruichtungsvektor!
so jetz muss ich weg
mfg
tl198
|
Felipe (bigphil2002)
Neues Mitglied
Benutzername: bigphil2002
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 05. Dezember, 2002 - 08:20: |
|
Könnte das vielleicht mal jemand ausführlich rechnen? |
Felipe (bigphil2002)
Neues Mitglied
Benutzername: bigphil2002
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Dezember, 2002 - 13:26: |
|
Ich brauche den Rechenweg und die Lösungen. Es ist wirklich dringend! |
Felipe (bigphil2002)
Neues Mitglied
Benutzername: bigphil2002
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Dezember, 2002 - 09:09: |
|
Bitte, helft mir! Es ist wirklich wichtig.Bitte!Bitte!Bitte! |
BellyBut (bellybut)
Neues Mitglied
Benutzername: bellybut
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. Januar, 2003 - 18:31: |
|
Ich hänge an den gleichen Aufgaben wie Felipe und deshalb wäre es super, wenn mal jemand die Sachen ausführlcih erklären könnte. Vielen Dank. |
Markus Dörrbecker (dörrby)
Neues Mitglied
Benutzername: dörrby
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 18:14: |
|
Ich will's mal probieren.
Ein Teilraum von R3 ist eine Ebene oder Gerade, die durch den Nullpunkt geht. Die Gleichung ist eine typische Ebenengleichung, also setzt man einfach mal den Nullpunkt ein und stellt fest:
1*0+2*0+3*0=0 ,d.h. er liegt in der Ebene.
Basisvektoren sind 1. Vektoren des Teilraums, die 2. voneinander linear unabhängig sind.
1.: Vektorkoordinaten in die Gleichung einsetzen:
1*(-2)+2*1+3*0 = 0
1*(-3)+2*0+3*1 = 0
=> beide Vektoren gehören zum Teilraum
2. Zur Überprüfung der linearen Unabhängigkeit genügt es bei nur zwei Vektoren, den einen so zu vervielfachen, dass eine Koordinate mit dem anderen übereinstimmt. Stimmen dann alle Koordinaten überein, sind die Vektoren linear abhängig.
1,5*(-2/1/0) = (-3/1,5/0) ¹ (-3/0/1), also linear unabhängig.
r-p soll in U sein, also muss (2-1/5-1/r3-1) die Gleichung erfüllen. Eingesetzt:
1*(2-1)+2*(5-1)+3*(r3-1) = 0 | -9
3*(r3-1) = -9 | :3
r3-1 = -3 | +1
r3 = -2
Damit ist der Vektor r-p = (1/4/-3). Vielfache davon sind linear abhängig, also zähle ich den Vektor so oft zu p, bis ich bei der x-Koordinate von Q ankomme, also zweimal. Damit ist
q = (1/1/1) + 2*(1/4/-3) = (3/9/-5) und eine mögliche Geradengleichung
x = (1/1/1) + l*(1/4/-3) . Auch wenn wir die Gerade damit konstruiert haben, kann man ja mit den drei Punkten nochmal die Punktprobe machen und erhält dann für P l=0 , für Q l=2 und für R l=1.
Die Lage zur Ebene müssen wir nicht groß untersuchen, denn wenn der Richtungsvektor, wie konstruiert, in der Ebene liegt, dann muss die Gerade parallel oder Teil der Ebene sein. Der Aufpunkt (1/1/1) liegt nicht in der Ebene, also ist die Gerade echt parallel.
Bis dahin erstmal
Dörrby
|
BellyBut (bellybut)
Junior Mitglied
Benutzername: bellybut
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. Januar, 2003 - 19:03: |
|
Super! Vielleicht findet sich ja noch jemand,d er den Rest macht |
BellyBut (bellybut)
Mitglied
Benutzername: bellybut
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. Januar, 2003 - 13:45: |
|
Also, ich habe mir zu 1b folgendes überlegt:
(Q-P)=k(R-P) denn u1(Q-P)+u1(R-P) und es wird keine Ebene mehr gebildet sondern eine Gerade.
[(3;q2;q3)-(1;1;1)]=k*[(2;5;r3)-(1;1;1)]
2=k*1; q2-1=k*(5-2); q3-1=k*(r3-1)
k=2; q2-1=2*3; q3-1=2*(r3-1)
q2=7; q3=2r3-1
alles in U einpassen:
(Q-P)= u1(1;1-1)+u2(-5;1;1)
(2;6;2r3-1-1)=u1(1;1;-1)+u2(-5;1;1)
(2;6;2r3-1-1)=u1(1;1;-1)+u2(-5;1;1)
u1-5u2=2;u1+u2=6; -u1+u2=2r3-2
-6u2=2-6=-4; u2=2/3
u1+u2=u1+2/3=6; u1=16/3
-u1+u2=-14/3=2r3-2; r3=-4/3
Weiß vielleicht jemand, ob das so richtig ist? Wäre nett, wenn es jemand nachrechnen könnte,denn bei Dörrby ist r3=-2 |
Markus Dörrbecker (dörrby)
Neues Mitglied
Benutzername: dörrby
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. Januar, 2003 - 17:09: |
|
Hallo BellyBut!
Für die, die's nachrechnen sollen, wäre es angenehmer, wenn Du dabei schreibst, was Du da eigentlich machst, sonst braucht man ewig, um durch die Rechnung durchzusteigen.
Du hast oben gerechnet: q2-1=k*(5-2),
da muss aber stehen: q2-1=k*(5-1),
und dann kommt für q2 auch 9 raus.
Als nächstes wählst Du neue Basisvektoren, indem Du
(-2;1;0)+(-3;0;1) = (-5;1;1) und
(-2;1;0)-(-3;0;1) = (1;1;-1)
rechnest. Warum weiß ich nicht, ist aber auch egal.
Das folgende ist dann offenbar ein Gleichungssystem. Wenn Du da mit q2=9 rechnest, dann kriegst Du folgendes raus:
u2=1
u1=7
r3=-2
Dein Rechenweg ist mehr formal und daher wohl auch angebrachter. Ich wollte das Ganze mehr so verständlich erklären.
c.)
Die Ebene des Dreiecks ABC hat die Vektorgleichung (eine mögliche)
x = (0;0;0) + l(1;4;-3) + m(-1;2;3)
Um die Schnittgerade mit der anderen Ebene zu bestimmen, ist es aber günstiger, die Koordinatenform zu haben, also rechnen wir um:
x = l*1 + m*(-1)
y = l*4 + m*2
z = l*(-3) + m*3
II - 4*I : y-4x = 6m
4*III+3*II: 4z+3y = 18m
3*I - II : 3*(y-4x) - (4z+3y) = 0
= 3y-12x-4z-3y
= -12x-4z | : (-4)
0 = 3x+z
Die Schnittgerade muss beide Gleichungen erfüllen, also ergeben die beiden Ebenengleichungen wieder ein Gleichungssystem:
3x+0y+1z = 0
1x+2y+3z = 0
I - 3*II : -6y-8z = 0 | +6y
-8z=6y | : (-8)
z=-3/4 y
In I eingesetzt:
3x = 3/4 y | :3
x = 1/4 y
Also ist der Richtungsvektor der Schnittgeraden(1/4; 1; -3/4) oder besser (1;4;-3) und als Aufpunkt kann man den Nullpunkt wählen, weil der in beiden Ebenen enthalten ist, also Geradengleichung von g2:
x = n*(1;4;-3)
Der Richtungsvektor stimmt mit der Geraden g1 überein, also sind die beiden Geraden gleich oder parallel. Wenn sie gleich wären, müsste der Aufpunkt von g1 auf g2 liegen. Da aber
(1;1;1) = n*(1;4;-3)
nicht lösbar ist, ist das nicht der Fall.
Die Gerade g3 durch B und C hat z.B. die Gleichung
x = (1;4;-3) + l*(1-(-1); 4-2; -3-3)
= (1;4;-3) + l*(2;2;-6)
Damit sind die Richtungsvektoren von g1 und g3 nicht parallel, die Geraden können sich also schneiden oder windschief sein. Wenn sie sich schneiden, dann lassen sich zwei Zahlen l und m finden, die folgende Gleichung erfüllen:
(1;1;1) + l*(1;4;-3) = (1;4;-3) + m*(2;2;-6)
Aus der ersten Koordinate ergibt sich: l = 2m
Das in die zweite eingesetzt ergibt:
1+4*2m = 4+m | -1 -m
7m = 3 | :7
m = 3/7
=> l = 6/7
Mal sehen ob's in der dritten Koordinate passt:
1+(6/7)*(-3) = -11/7
-3+(3/7)*(-3) = -30/7
Passt nicht, also ist die Gleichung nicht lösbar, die Geraden g1 und g3 damit windschief.
Dörrby
|
|
