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Alexander (mrknowledge)
Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 50
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Dezember, 2002 - 11:40: | 
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Servus,
Folgende Gleichungen sollen arithmetisch und trigonometrisch dargestellt werden und nun weiß ich nicht, ob ich das korrekt verstanden habe...:
1. (1-i)^6=1^6-i^6=1-1=0, dai^2=-1 und damit i^6=- 1???
2. (i-Wurzel3)^8=i^8-3^4=-1-3^4 ???
Geben Sie die komplexen Zahlten in exponentieller Form an
z1=4i=4*Wurzel(-1) ???
Man löse die Gleichungen:
1. z^6=1 --> z=1 ???
2. z^3=8i -->hier hab ich keinen Schimmer
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die
1. (x+2i)^3 --> wieder keinen Schimmer
Wäre nett, wenn jemand Licht ins dunkel bringt...
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 745
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Dezember, 2002 - 13:54: |
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Hi Alexander
Erstmal ein paar allgemeine Sachen. Die komplexe Zahl in arithmetischer Form heißt in der Form
z=a+i*b
In trigonometrischer Form:
z=r*(cos(a)+i*sin(a)) mit r aus R.
Jetzt gilt folgende Beziehung:
(cos(a)+i*sin(a))^n=cos(na)+i*sin(na).
Ich glaube das war die Formel, die du bei 1. und 2. als im Hinterkopf hattest und dadurch die Fehler gemacht hast. Du musst hier nämlich einfach nach den binomischen Formeln ausmultiplizieren. Bei 1.
(1-i)^6=(1-2*1*i+i^2)^3
=(-2i)^3=8i
Bei der 2. kannst du genauso vorgehen.
Jetzt bringen wir die mal in die trigonometrische Form.
Haben wir die Zahl in arithmetischer Form
z=a+ib gegeben, so gilt:
z=sqrt(a^2+b^2)*e^(i*arctan(b/a))
Das kannst du jetzt nach der Eulerformel
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)
noch umschreiben in die trigonometrische Form.
Geben Sie die komplexen Zahlten in exponentieller Form an
z1=4i=4*Wurzel(-1)
Hierbei können wir jetzt nicht nach meiner Formel von oben vorgehen, weil a=0 ist, das macht die Sache aber einfacher.
Wir wissen ja, dass der cosinus 0 werden muss, also ist x ein Vielfaches von Pi/2. Für x=Pi/2 wird der sinus 1. Damit sind wir schon fast am Ziel, wir müssen die Zahl nur noch mit 4 multiplizieren. Also:
z1=4i=4(cos(Pi/2)+i*sin(Pi/2))=4e^(i*Pi/2)
Man löse die Gleichungen:
1. z^6=1 --> z=1 ???
z^6=1
<=> z^6=e^(i*k*2*Pi) mit k aus Z.
<=> z=e^(i*k/3*Pi)
<=> z=cos(k/3*Pi)+i*sin(k/3*Pi)
Setzt du für k die Werte 0,1,...,5 ein, so erhältst du die 6 verschiedenen Lösungen deiner Gleichung.
2. geht genauso, musst halt auch wieder die rechte Seite umschreiben in exponentielle Form, dann dritte Wurzel ziehen usw.
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die
1. (x+2i)^3 --> wieder keinen Schimmer
Da fehlt wohl ein Teil der Frage?!
MfG
C. Schmidt |
Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 51
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 10:12: |
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Hi,
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, für die
die Gleichung reell ist...
MfG
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 259
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 12:04: |
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Hallo,
es fehlt noch immer ein Teil der Frage bzw. ist diese falsch formuliert! Die Gleichung selbst ist nicht reell, da sie bereits i enthält. Es kann aber das Ergebnis des Termes reell werden, wenn der Winkel des Zeigers (x + 2i) mit der reellen Achse 0/3, pi/3, 2pi/3, pi, .... ist, denn dann ist (nach Moivre bzw. Euler) der Winkel der 3. Potenz gerade 0, pi, 2pi, 3pi, ... und das Ergebnis reell.
[cos(a) + i*sin(a)]^n = cos(n*a) + i*sin(n*a), dies sagt aus, beim Poztenzieren ist der Winkel zu multiplizieren.
Es gilt dann:
tan 0 = 2/x, tan(pi/3) = 2/x, .... usw. mit
x(1) = 2/tan 0, geht über alle Grenzen, nicht möglich
x1 = 2/tan (pi(3), x3 = 2/tan(2pi/3), bei x4 fängt es wieder von vorne an, daher kann man abbrechen; bzw.
x2 = 2/sqrt(3), x3 = -2/sqrt(3)
Gr
mYthos
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Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 52
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 16:26: |
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HI,
mir ist immernoch nicht klar, wie Christian bei (1-i)^6 auf 8i als Ergebniss gekommen ist. Er meinte, einfach nach den Binomischen Formeln ausmultiplizieren... Wenn ich nun allgemein für (a+b)^6 die Binomische Formel aufstelle, dann kommt da raus: a^6+6a^5b+15a^4b^2+20a^3b^3+15a^2b^4+6ab^5+b^6
Wenn ich da nun für a=1 und b=î einsetzen würde und das + gegen ein - tausche, komme ich aber irgendwie nicht auf die 8i. Könnte jemand mal sagen, woran dass liegt, oder nochmal erklären, wie ich sonst noch wie draufkomme???
MfG |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 179
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 17:35: |
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Hallo
(1-i)6
= (1-i)3*2
= (1-2*1*i+i2)3
da i2 = -1,
ist 1-2*1*i+i2 = 1-2i-1 = -2i
ergo:
(1-i)6 = (-2i)3 = -8i3 oder mit i2 = -1
(1-i)6 = 8i
MfG Klaus
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 752
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 17:39: |
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Hi Alexander
Warum denn so kompliziert 
Wir nehmen einfach mal (1-i)^2
Nach den binomischen Formeln ergibt sich:
(1-i)^2=1-2i-1=-2i
Nach den Potenzgesetzen gilt:
(1-i)^6=((1-i)^2)^3=(-2i)^3=-8*i^3=8i
Dann stimmt bei deiner Formel auch was nicht. Du kannst (a-b)^6 berechnen, dann kannst du a=1 und b=i setzen. Allerdings wechseln sich in der Formel dann + und - Zeichen ab, wobei am Anfang ein + steht.
Oder du setzt in deine Formel -i ein, dann bekommst du das richtige Ergebnis, ist aber hier eigentlich viel zu kompliziert.
MfG
C. Schmidt
Klaus war da wohl schneller als ich ;)
(Beitrag nachträglich am 02., Dezember. 2002 von Christian_s editiert) |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 260
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 17:40: |
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(1 - i) hat die Länge (den Betrag) sqr(2) und den Winkel -45°!
Daher hat die 6. Potenz den Betrag 8 und den Winkel -45*8 = - 270°, d.i. ident mit 90° -->
also ist das Ergebnis (bitte mit einem s!) -->
8i
SO einfach ist das!
Gr
mYthos
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Alexander (mrknowledge)
Fortgeschrittenes Mitglied
Benutzername: mrknowledge
Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 20:02: |
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Hi,
was mythos beschreibt ist ja die trigonometrische Lösung des Problems. Wie ich auf den Betrag komme ist klar (Pythagoras). wie kommt er aber auf den Winkel von -45 bzw. -45*8???
MfG
Wozu brauch man eigentlich praktisch die komplexen Zahl. Wir können zwar jetzt schon Wurzel aus -2 lösen, aber wozu :-)
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 266
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 21:20: |
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Hi,
was ist eigentlich gegen die trigonometrische Lösung zu sagen?
Zeichne dir die komplexe Zahl (1-i) mal in der komplexen Zahlenebene auf! Du wirst sehen, dass deren Zeiger in den 4. Quadranten weist, dort ist der Winkel 315° oder eben -45° (resultiert aus einer negativen Drehung bezüglich der reellen Achse).
Sorry, das mit den 8 war ein Schreibfehler, es sollte mal 6 heissen, aber das Ergebnis ist ohnehin richtig (-45*6 = -270°, dies entspricht wiederum 90°). Mit 315° geht's auch: 315*6 = 1890°, davon 5*360° = 1800° subtrahieren, bleiben 90°!
Mal 6 deswegen:
Satz von Moivre:
[cos(a) + i*sin(a)]^n = cos(n*a) + i*sin(n*a), dies sagt aus, beim Poztenzieren ist der Winkel zu multiplizieren.
Musst genauer lesen, das habe ich eigentlich oben schon begründet!
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 267
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 02. Dezember, 2002 - 21:38: |
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Ach ja, noch zur Frage, wozu die komplexen Zahlen gut sind!
Die Kenntnis allein, wie sqrt(-2) zu berechnen ist, würde bei weitem nicht ausreichen!
Die komplexen Zahlen stellen in vielen, meist technischen, mathematischen und physikalischen Bereichen einen unverzichtbaren, nicht mehr wegzudenkenden Bestandteil dar.
Auf Details hier einzugehen, würde den Rahmen dieses Themas hier sprengen. Du wirst dir aber bei wirklichem Interesse mit Hilfe des großen Orakels (=Internet) sicher einen Überblick verschaffen können.
Ich denke, dass dir deren Bedeutung erst mit fortschreitendem mathematischen Verständnis innerhalb der nächsten Schuljahre wirklich bewusst werden wird.
Gr
mYthos
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