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1. und 2. ableitungen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Ableitungen » Archiviert bis 19. Dezember 2002 Archiviert bis Seite 28 » 1. und 2. ableitungen « Zurück Vor »

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k (skrad)
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Neues Mitglied
Benutzername: skrad

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Dezember, 2002 - 09:17:   Beitrag drucken

hallo
wer kann mir zeigen, wie man von folgenden aufgaben die 1. und 2. ableitung bildet:
a) y=x^ln(x)
b)y=x^x
c)y=(2*ln(x+1))/(x+1) hier nur die erste

danke
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Ferdi Hoppen (tl198)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198

Nummer des Beitrags: 164
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Dezember, 2002 - 10:59:   Beitrag drucken

tipp:

forme um:
x^ln(x)=(e^ln(x))^ln(x))=e^(ln(x)^2)

damit ists ganz einfach wenn man die ableitung von e^x kennt.

ebenso bei b)

bei c) musst du einfach die qoutientenregel anwenden!

mfg
tl198
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 722
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Dezember, 2002 - 11:13:   Beitrag drucken

a)
y = xlnx=(elnx)lnx= eln²x

Kettenregel: [u(v(x)] = u'(v)*v'(x)
Differenzierere
erst die "äußere" Funktion u als ob v eine einfache Variable ist,
dann
die "innere" Funktion

hier:
u(v) = ev; v = ln²x; auf v ist nochmals die Kettenregel anzuwenden

y' = eln²x(ln²x)' = xlnx(2lnx)*(lnx)'

y' = 2*xlnxlnx / x

für die 2te Ableitung:
Quotientenregel,
im Zähler Produktregel,
und für (xlnx)' eben y' einsetzen

b) y= xx=(elnx)x =ex*lnx
ist
nun einfacher als a)

c)
Einfach Quotientenregel, [ln(x+1)]' = 1/(x+1) [triviale Kettenregelanwendung da (x+1)'=1]

y' = 2*[ln'(x+1)*1 - (x+1)*ln(x+1)]/(x+1)²

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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k (skrad)
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Neues Mitglied
Benutzername: skrad

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 10:06:   Beitrag drucken

hallo, danke für deine hilfe. ich verstehe aber immer noch nicht ganz, wie man bei a) auf y'= 2*x^ln(x)*ln(x)/x erhält.
warum gibt das nicht e^(lnx)^2*2/x ??
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 725
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 03. Dezember, 2002 - 12:53:   Beitrag drucken

e^(lnx)^2*2/x = [e^(lnx)^2]*2/x = y*2/x;
dein Ergebnis ist also nur eine andere Schreibweise.(beim potenzieren von Potenzen werden die Exponenten miteinander multipliziert,
und
aus a^(b*b) = a^b² folgt natürlich auch
a^(b*b) = [a^b]^b
)

die 1te Anwendung der Ketten regel, auf die
"äußere" Funktion eu
ergibt
u'*eu
dabei
ist u = ln²x = (lnx)² [bloß andere Schreibweise].
Die
"äußere" Funktion von (lnx)² ist "Zum Quadrat";
wäre
lnx eine Einfache Variabl, dann wäre die Ableitung
2*lnx,
aber auf u = ln²x = (lnx)² muß die Kettenregel
angewendet
werden, u' = 2*lnx*(lnx)' = 2*(lnx)/x


Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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