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David Ladiges (mathefan93)
Neues Mitglied
Benutzername: mathefan93
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 12:33: | 
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Moin,
ich habe ein furchtbares Problem mit Ungleichungen. Wie lösst , manallgemein Ungleichungen ? Wie speziel Quadratische bzw. Kubische ?
Kann mir jemand vielleicht mal folgendes Beispiel vorrechnen und dabei Erklären?
5 > (x+1) * (x-4x)
Danke !! |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 281
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 15:10: |
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Hallo,
im Allgemeinen würde ich erst einmal die Ungleichung auf die Form "<0" oder ">0" bringen und dann die zugehörige Gleichung lösen. Damit lässt sich dann der Ausdruck auf der anderen Seite der Ungleichung Faktorisieren. Ein Produkt wird dann > 0, wenn beide Faktoren positiv oder beide negativ sind.
Deine Beispielungleichung ist allgemeingültig in IR.
5>(x+1)(x-4x)
5>(x+1)(-3x),
da schon gilt
3/4>=(x+1)(-3x)
Gleichung:
3/4>=-3x^2-3x
0>=-3x^2-3x-3/4 //  -3)
0<=x^2+x+1/4
0<=(x+1/2)^2 für alle x aus IR.
Gruß
Peter |
David Ladiges (mathefan93)
Neues Mitglied
Benutzername: mathefan93
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 15:36: |
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Mhm. Da Blick ich nicht so ganz durch. Ich meine wie ist jetzt die Lösungsmenge? Und wo hast du plötzlich die 3/4 her ? |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 282
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 16:16: |
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Hallo noch mal,
die Lösungsmenge ist ganz IR. Die 3/4 stammen aus einer Abschätzung per quadratischer Ergänzung.
Ich mach's mal ausführlich:
5>(x+1)(x-4x)
5>(x+1)(-3x)
0>-3x^2-3x-5 // -3(ausklammern)
0>-3(x^2+x+5/3) // divid. durch -3 !!! aus > wird <, wenn man durch eine negative Zahl teilt !!!
0<x^2+x+5/3 // quadratische Ergänzung: die Hälfte des Vorfaktors von x quadriert addieren und sofort wieder subtrahieren
0<x^2+x+1/4-1/4+5/3 // 1. binomische Formel
0<(x+1/2)^2-3/12+20/12
0<(x+1/2)^2+17/12
Diese Ungleichung wird von allen reellen Zahlen erfüllt, da das Quadrat kleinstenfalls Null wird, +17/12 ist dann in jedem Fall >0.
Gruß
Peter
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