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Beitrag |
    
Joanna (joanna22)
Junior Mitglied
Benutzername: joanna22
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 17:15: | 
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Ääääääääähm.......ich hab da so ein klitzekleines Problem....Ich kann diese Aufgabe nicht lösen......also...Frage ich euch mal um Rat...OKEE?
Also die Aufgabe lautet:
}
Einem Kegel soll ein zweiter Kegel mit möglichst großem Volumen so einbeschrieben werden, dass die Spitze des zweiten Kegels im Mittelpunkt des Grundkreises des ersten Kegels liegt. So ...ich hoffe es kann mir jemand helfen..Dafür gibt's schon mal ein DankeSchön und einen  im Voraus}
Die Joanna}} |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 279
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 19:04: |
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Hallo Joanna,
die Aufgabe ist so eine Art Klassiker:
http://www.lern1.de/cgi-bin/hausaufgaben/show.cgi? tpc=9308&post=109493#POST109493
Gruß
Peter |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 247
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 22:35: |
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Hi!
Die Lösung von DULL ist schlicht und ergreifend FALSCH!
Man darf keinesfalls davon ausgehen, dass der größte Querschnitt bei Rotation auch das größte Volumen erzeugt!
Man muss die Rechnung also schon über das Volumen des eingeschriebenen Kegels machen und erst dieses maximieren.
Ausserdem ist die Aufgabe eigentlich ganz leicht.
Der große Kegel habe den Radius R und die Höhe H, der verkehrt herum eingeschriebene kleinere Kegel den Radius x und die Höhe y. An der Spitze des großen Kegels befindet sich durch den eingeschriebenen Kegel ein rechtwinkeliges Dreieck (Katheten x und H-y), welches zu dem großen Dreieck /R, H) ähnlich ist!
Somit gilt die Proportion
R : H = x : (H - y)
RH - Ry = Hx -->
y = (H/R)*(R - x) das ist die Nebenbedingung
V = x²y*pi/3 soll maximal werden, Hauptbedingung
y von der Nebenbedingung einsetzen -->
V(x) = (pi/3)*(H/R)*x²*(R - x), alle (positiven) konstanten Faktoren vorne für die Ableitung kann man weglassen
f(x) = x²*(R - x)
f(x) = Rx² - x³
f '(x) = 2Rx - 3x²
f ''(x) = 2R - 6x
-----------------------
f '(x) = 0 --> x*(2R - 3x) = 0
(x = 0 unbrauchbar)
3x = 2R
x = (2/3)*R
===========
y (aus NB): y = (H/R)*R/3
y = H/3 !! (und nicht H/2!)
Dass das sich ergebende Volumen ein Maximum ist, zeigt man mittels der 2. Ableitung:
f ''(2R/3) = 2R - 4R = -2R < 0 Maximum!
Schließlich ist das Volumen:
V = (4/9)*R²*(H/3)*pi/3 = (4/81)*pi*R²H, das ist (4/27) mal das Volumen des großen Kegels (ca. 1/7 davon).
Mit x = R/2 und y = H/2 wäre dieses Volumen aber genau 1/8 davon, also weniger!
Hope it helps!
Gr
mYthos
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Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 280
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 14:43: |
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Sorry!
mythos hat Recht.
Ich hatte mir die Lösung von Dull nicht genau angeschaut, weil ich mir sicher war, dass diese Aufgabe schon zig-mal gestellt und gelöst worden ist.
Ich werde in Zukunft nur noch auf Beiträge verweisen, die ich genau geprüft habe :-)
Gruß
Peter |
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