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Leni (magda1919)
Junior Mitglied
Benutzername: magda1919
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 15:39: | 
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Hallo,
ich soll für die Funktion
f(x)= 1/2x³-9/2x²+23/2x-15/2
den definitionsbereich, die Nullstellen, Extrema, Wendestellen, Polstellen, Asymptote angeben und ausrechnen, wie groß die endlichen Flächenstücke zwischen Kurve und x-Achse sind. Kann mir das bitte jemand ausführlcih erklären und vorrechnen? ich verstehe nämlich nix mehr :-((( |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 271
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 17:17: |
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Hi Leni,
also wenn ich deine Funktion richtig lese, heißt sie
f(x)=(1/2)x^3-(9/2)x^2+(23/2)x-15/2
Damit hat sich das Thema "Polstellen" sowie das Thema "Asymptote" erledigt. Die gibt's nur bei gebrochen rationalen Funktionen.
1) Definitionsbereich: Es gibt keinerlei Beschränkungen (wie etwa Nenner, Wurzeln etc.), also ist
ID=IR.
2.) Nullstellen
f(x)=0
Man findet die erste Nullstelle "durch Raten" : x=1
Per Polynomdivision kannst du die Gleichung auf eine quadratische reduzieren:
[(1/2)x^3-(9/2)x^2+(23/2)x-15/2] x-1)=(1/2)x^2-***************************************4x+15/2
-(1/2)x^2-(1/2)x^2
------------------
...........-4x^2+(23/2)x
..........-(-4x^2+4x)
-------------------------
................(15/2)x-15/2
..............-(15/2)x-15/2)
----------------------------
.........................0
Noch zu lösen:
(1/2)x^2-4x+15/2=0
x^2-8x+15=0
x2,3=4+-SQRT(1)
Damit haben wir die Nullszellen 1, 3 und 5.
3) Extrema
Zunächst die ersten beiden Ableitungen:
f(x)=(1/2)x^3-(9/2)x^2+(23/2)x-15/2
f'(x)=(3/2)x^2-9x+23/2
f''(x)=3x-9
Notwendige Bed. f'(x)=0
(3/2)x^2-9x+23/2=0 // * 2/3
x^2-6x+23/3=0
x=3+-SQRT(4/3)
f''(3+SQRT(4/3))>0, also Min. bei TP(3+SQRT(4/3)/-8/9SQRT(3)) ca(4,15/-1,54)
f''(3-SQRT(4/3))<0, also Max. bei HP(3-SQRT(4/3)/-8/9SQRT(3)) ca. (1,85/1,54)
4) Wendepunkte
f''(x)=3x-9
f'''(x)=3
Notw. bed.
3x-9=0
x=3
f'''(3)<> 0, also WP (3/0)
5) Statt "Asymptoten" Grenzwertverhalten
lim f(x) = +00
x->00
lim f(x) = -00
x->-00
6)Die endlichen Flächenstücke werden zwischen 1 und 3 sowie zwischen 3 und 5 eingeschlossen.
INT ((1/2)x^3-(9/2)x^2+(23/2)x-15/2) dx=
(1/8)x^4-(3/2)x^3+(23/2)x^2-(15/2)x
F(5)=-25/8
F(3)=-9/8
F(1)=-25/8
Flächenstück zw. 1 u. 3: F(3)-F(1)=16/8=2
Flächenstück zw. 3 u. 5: F(5)-F(3)=-16/8=-2 Der Flächeninhalt ist dann allerdings auch 2 FE.
7) Graph
Gruß
Peter |
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