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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 722
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 11:52: | 
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Hi!
Hab nur mal eine kleine Frage zum Skalarprodukt. Und zwar hat unser Lehrer uns letzte Stunde gezeigt, dass beim Skalarprodukt kein Assoziativgesetz gilt. "*" soll jetzt mal das Skalarprodukt bezeichnen.
(a*b)*c=a*(b*c)
Begründung war jetzt, dass die linke Seite ein Vielfaches von Vektor c ist und die rechte Seite ein Vielfaches von Vektor a. Ich verstehe ja auch die Begründung und hätte es wahrscheinlich auch selbst so begründet, nur hier mein Einwand. Ich finde die Schreibweise ist schon falsch in obiger Gleichung. Wenn dann müsste man das doch so schreiben:
(a*b)*c=(b*c)*a
Denn eine Multiplikation von rechts mit einem Skalar haben wir nie definiert und ich finde sowas auch in keinem meiner Bücher. Unser Lehrer meinte aber, dass r*a=a*r gilt, also wäre die Multiplikation von einem Skalar und einem Vektor kommutativ. Das steht aber nicht in den Vektorraumaxiomen und ich kann es auch nicht beweisen. Habt ihr einen Beweis dafür oder eine Widerlegung?
(Stört euch bitte nicht an den Gleichheitszeichen, die ich oben gesetzt habe, sind ja eigentlich keine)
MfG
C. Schmidt |
Walter H. (mainziman)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mainziman
Nummer des Beitrags: 276
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 12:04: |
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Hallo Christian,
Die Argumentation wegen dem Vielfachen ist genau der Grund, daß beim Skalarprodukt nur das Kommutativ nicht aber das Assiziativgesetz gilt;
Zur Schreibweise
vect(x) * skalar(a) = skalar(a) * vect(x)
Das was Du meintest mit - haben wir nie definiert - hat eher fürs Operator overloading in C++, wenn man nur die eine Variante berücksichtigt, zu tun;
das kannst aber ganz leicht zeigen:
vect(x) = (x, y)
skalar(a) = a
(x, y) * a = (x*a, y*a) <-- da hast ja jeweils skalare für die das Kommutativgesetz gilt;
= (a*x, a*y) = a * (x,y)
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 723
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 13:05: |
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Hi Walter
Leider verstehe ich deinen Beweis nicht.
(x,y)*a=(x*a,y*a)
Das ist doch grad das zu Beweisende. Bzw. das muss man so definieren, damit man durch das Kommutativitätsgesetz der Skalare auf die Formel x*a=a*x kommt?!
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 198
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 17:00: |
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Hi Christian,
wiso musst du das Rad neu erfinden.
wir haben in den Vektorraumaxiomen mal definiert.
a*Vektor(x;y)=Vektor(a*x;a*y)
a*x und a*y sind Produkte reeller Zahlen und für die gilt das Komutativgesetz. daher ist
Vektor(a*x;a*y)
mit
vektor(x*a;y*a)
aquivalent.
und hieraus
vektor(x;y)*a
Gruß N. |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 199
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 17:08: |
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Übrigens Christian,
wenn du nur Zeigen willst, dass
r*vektor(x;y)=Vektor(r*x;r*y)
musst du dieses über die Komponentendarstellung eines Vektors machen!
oder soll ich dir den Beweis schicken?
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 725
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. November, 2002 - 17:24: |
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Hi Niels
Vielleicht liegt mein Problem auch einfach daran, dass ich mich nicht wirklich auf die Ebene beziehe, sondern eher auf Vektorräume allgemein. Da kann ja eine Multiplikation auch mal ganz anders definiert sein als komponentenweise. Und dann hatte ich mir das halt folgendermaßen gedacht.
Wir nehmen mal den ganz normalen Vektorraum V über dem Körper K. Dann steht jetzt in den Axiomen:
Für jeden Vektor v aus V und k aus K ist ein Produkt k*v definiert. Das kann jetzt wegen mir mal komponentenweise definiert sein. Jetzt kann ich aber doch ganz einfach eine weitere Multiplikation definieren, nämlich v*k. Nehmen wir hier mal den Vektorraum R².
Z.B. k*(x;y)=(kx;ky)
(x;y)*k=(xk;y)
Jetzt sind die Produkte unterschiedlich, aber das ändert ja nichts daran, dass R² ein Vektorraum ist, nur eben mit noch einer zusätzlichen Struktur.
Ich hoffe mal mein Problem ist jetzt besser verständlich.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 200
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. November, 2002 - 18:26: |
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Hi Christian,
ich verstehe dein Problem nicht. In einem Vektorraum darf man immer nur eine s-Multiplikation definieren.
Und beim Vektorraum über die Reellen Zahlen ist die s-Multiplikation eben so defineiert wie sie definiert ist. Da darfst du nicht einfach reinfuschen.
Gruß N. |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 726
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. November, 2002 - 21:24: |
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Hi Niels
ich verstehe dein Problem nicht. In einem Vektorraum darf man immer nur eine s-Multiplikation definieren.
Das ist ja grade das Problem.
k*v ist definiert, nicht aber v*k.
Und beim Vektorraum über die Reellen Zahlen ist die s-Multiplikation eben so defineiert wie sie definiert ist. Da darfst du nicht einfach reinfuschen.
Ich hätte das glaube ich nicht im Bereich analytische Geometrie posten sollen. Mit meiner Frage meinte ich eigentlich einen beliebigen Vektorraum über |R mit dem gewöhnlichen Skalarprodukt. Und da kann man ja die Multiplikation mit einen Skalar auf verschiedenste Weise definieren.
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 727
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 12:49: |
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Hi nochmal
Hab nochmal im Internet gesucht und auch was gefunden:
http://www.mathproject.de/LineareAlgebra/9_1.html
Unten bei beachte steht:
Bei einem skalaren Produkt a·v ist der skalare Faktor grundsätzlich links zu notieren; einen Ausdruck der Form v·a gibt es nicht!
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 201
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. November, 2002 - 15:25: |
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Hi Christian,
natürlich existiert im Regelfall vect(x)*a nicht. Das liegt aber schlicht und einfach an der definitionssache:
Wenn es um die Vektorräume über reelle Zahlen geht, ist dies schlicht so zu machen.
a*v (Vektorraumaxiom)
a*v=v*a (folgerung aus dem Vektorraumaxiom)
Die folgerung rührt daher, das die Multiplikation reeller Zahlen kommutativ ist. Diese Überlegungen sind allerdings nur theoretischer Natur, weil sich an der Definition a*v als das a- fache Länge des Vektors v nichts ändert. Es gehr hier rein um Orthografie und weniger um Mathematik!
Gruß N.
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 731
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 26. November, 2002 - 18:01: |
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Hi Niels
Es gehr hier rein um Orthografie
Viel mehr hatte ich ja auch gar nicht behauptet 
a*v=v*a (folgerung aus dem Vektorraumaxiom)
Das gilt doch grade nicht, sonst würde das ja in jedem Vektorraum gelten, weil in jeden Körper das Kommutativgesetz gilt.
MfG
C. Schmidt |
Niels (niels2)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: niels2
Nummer des Beitrags: 202
Registriert: 06-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. November, 2002 - 18:18: |
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Hi Christian,
(a*b)*c=(a1*b1+a2b2)*c
a*(b*c)=a*(b1c1+b2c2)
Wenn man nun mit Komponenten weiter rechnet, würde man sofort erkennen das das assoziativgesetz nicht gilt.
Bei deinen Einwand hast du nur die Vektoren zyklisch vertauscht.
(a*b)*c=(b*c)*a
(a*b)*c=(a*b)*c=(a1*b1+a2b2)*c
(b*c)*a=(b1c1+b2c2)*a
Tja, ich glaube da verzettelt man sich nur....
Gruß N. |
