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Sabrina (s74)
Neues Mitglied
Benutzername: s74
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 15:31: | 
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Hi, hoffe, mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:
Aus einem Kreis soll ein Rechteck mit größt möglichem Flächeninhalt ausgeschnitten werden.
Mein Problem dabei ist, dass es allgemein gelöst werden soll, d.h. die einzigen Vorgaben sind, dass die Seiten des Rechtecks a,b heißen und dessen Diagonale d der Durchmesser des Kreises ist.
Bye, S74 |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 692
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 19:22: |
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mach eine Skizze: der Kreis, das Rechteck, die Diagonalen, eine Mittelline, Winkel zwischen Mittellinie und Diagonale = x
die Rechteckseiten ist dann 2*r*sinx, 2*r*cosx;
wie
groß ist dann die Fläche,
wie
groß muß der Winkel x sein,
damit
die Fläche gößtmöglich wird?
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überleg bitte erst mal selbst.
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Beachte: 2*sinx*cosx = sin(2x) !
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Sabrina (s74)
Neues Mitglied
Benutzername: s74
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 09:21: |
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Danke erstmal!
Bin auch schon selbst zu einem Ergebnis gekommen, bin mir aber unsicher, ob die Lösung richtig ist. Mein Ansatz:
Zielfunktion: Rechteck Ar(a,b)= ab
Nebenbedingung:
Kreis Ak(a,b)=(Pi/4)(a^2+b^2)
Nach b umgeformt und in Ar eingesetzt hab ich die Gleichung
Ar(a)=a*Wurzel((4/Pi)Ak-a^2)
Daraus ergibt sich ein Maximum bei
a=Wurzel((4/3Pi)Ak)
In die Ausgangsgleichung eingesetzt und Ak wieder durch (Pi/4)d^2 ersetzt ergibt die Lösung
Max. Fläche Ar = d^2(Wurzel(2)/3)
Kommt das ungefähr hin?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 695
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 13:49: |
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Eine interessante Rechnung, bei der ich aber nicht mitkomme,
und ich fürchte,
Du wolltest ein Rechteck, dessen Fläche der
Kreisfläche gleich ist,
und
das ist nicht gefragt,
Sondern
nach dem größtmöglichem Rechteck,
das
in einen Kreis gezeichnet werden kann
Richtig
erkannt hast Du
daß
Rechteckdiagonale = Kreisdurchmesser.
Wenn
Du einen anderen Ansatz als meinen 1ten versuchen
willst,
Stell Dir die Diagonale mal waagrecht vor,
und
alle möglichen rechtwinkeligen 3eck auf dem
Halbkreis darüber.
Die
Katheten dieser re.wi. 3ecke sind die Rechteckseiten a,b.
Wie ändern sich diese abhängig davon,
wo
der Höhenfußpunkt Fh auf den Halbkreisdurchmesser liegt?
(
als x, von dem die a, b abhängen
nimm
z.B. den Abstand des Fh vom Kreismittelpunkt
)
Auf diesem Wege wirst Du allerdings nicht ums
differenzieren herumkommen um das größte Rechteck
zu
finden,
bei
meinem 1tem Ansatze bliebe Dir das erspart.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Sabrina (s74)
Neues Mitglied
Benutzername: s74
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 15:44: |
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Werd ich bei Gelegenheit mal ausprobieren.
Differenzieren ist kein Problem, musste ich bei meiner Rechnung ja auch, um auf a zu kommen. Ich habs nur nicht hingeschrieben.
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 697
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 17:15: |
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noch ein Tipp der Dir eine Menge Arbeit ersparen kann: Fläche = Diagonale * Dreieckshöhe ( des re.wi. 3ecks das aus Diagonale und 2 seiten gebildet wird).
Aber der Lehrer will wohl, das differenziert wird.
(Beitrag nachträglich am 21., November. 2002 von friedrichlaher editiert)
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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