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Sarah Schmidt (sarah1516)
Neues Mitglied
Benutzername: sarah1516
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 14:35: | 
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Gegeben sind die beiden in R definierten Scharen von Funktionen gk y = k - x²/k
und hk y = k^3 - kx²
Die dazu gehörige Schar der Graphen werde mit Gk und Hk bezeichnet.
Welchen Inhalt Ak hat das oberhalb der x - achse gelegene von Gk und Hk begrenzte Flächenstück?
kann mir da jemand helfen ?
Danke :-) |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 270
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 17:31: |
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Hallo Sarah,
wenn das Flächenstück von den Funktionsgraphen eingeschlossen werden soll, benötigen wir zunächst die Schnittstellen:
gk=hk (k=0 darf nicht zugelassen werden)
k-x^2/k=k^3-kx^2 // *k
k^2-x^2=k^4-k^2x^2 //+k^2x^2 -k^2
(k^2-1)x^2=k^4-k^2
(k^2-1)x^2=k^2(k^2-1) //  k^2-1)
für k=+-1 sind gk und hk identisch!
x^2=k^2
x=+-k
Damit haben wir für k ungleich -1, 0, 1 zwei Schnittpunkte
S1(-k/0) und S2 (k/0)
Ein Flächenstück oberhalb der x-Achse wird nur für k>0 eingeschlossen (hk liegt über gk).
Wir brauchen also das Integral von -k bis k über hk(x)-gk(x)dx
hk(x)-gk(x)=-kx^2+k^3-k+x^2/k=(1/k-k)x^2+k^3-k
F(x)=(1/3)(1/k-k)x^3+(k^3-k)x
F(-k)=(1/3)(1/k-k)(-k^3)+(k^3-k)(-k)=-(1/3)k^2+(1/ 3)k^4-k^4+k^2=-(2/3)(k^4-k^2)
F(k)=(1/3)(1/k-k)k^3+(k^3-k)k=(1/3)k^2-(1/3)k^4+k^ 4-k^2=(2/3)(k^4-k^2)
F(k)-F(-k)=(4/3)(k^4-k^2)
Gruß
Peter
(Beitrag nachträglich am 20., November. 2002 von analysist editiert) |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 151
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 17:42: |
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hallo
funktionen gleichsetzen schnittpunkte berechnen!
liefert x=±k
das sind unsere integrationsgrenzen. aber es reicht von null bis k zu integrieren, dann mal zwei zunehmen, wegen der symetrie!
=> ò0 k k^3-(kx^2)-k+(x^2/k) dx
da einsetzen und ausrechnen liefert
Ak=(4/3)k^4-(4/3)k^2
du musst einfach immer diesen parameter mit rumschleppen sonst ist es ganz normal!!
tl198 |
X (hallihallo)
Neues Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 14. Januar, 2003 - 21:20: |
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Hallo! es handelt sich um die Funktion
f(x)= e^x*(2-e^x)!
a) Der Graph der Funktion, die X-Achse und die Gerade x=-1 begrenzen ein Flächenstück vollständig. Berechnen sie dessen Flächeninhalt A auf eine Dezimale genau! (kommt da zufällig
1,9 FE raus?)
b) die tangente im kurvenpunkt (ln 2;0) schließt mit der zugehörigen kurvennormalen (die kurvennormale steht immer senkrecht zur Tangente) und der y-achse ein Flächenstück vollständig ein.Berechnen sie dessen flächeninhalt A!
c)für welches k gilt
integtral von k bis ln2 f2(x)dx= 0,5
(ich hoffe es ist verständlich was ich meine)
Deuten sie ihre ergebnisse geometrisch!
Es wäre super nett, wenn mir da jeman helfen könnte bei der b)+c) und die a) nachprüfen könnte!
vielen danke!
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 328
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 11:23: |
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a)
Nein, die Fläche ist A = 0,831909 FE
Vor dem Integrieren die Funktionsgleichung ausmultiplizieren:
f(x) = 2*e^x - e^(2x)
A = Int[-1;0][2*e^x - e^(2x)]dx = [2*e^x - (1/2)*e^(2x)][-1;0]
A = 2 - (1/2) - (2/e) + 1/(2*e²) = 3/2 - (2/e) + 1/(2e²)
A = (3e² - 4e + 1)/(2e²) = (3e - 1)*(e - 1)/(2e²)
A = 0,831909 FE
=============
b) c) heute nachmittag! Was heisst bei c) f2(x)?
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 329
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Januar, 2003 - 15:11: |
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Sorry, ich habe mich in der Eile bei der Angabe verlesen, es heisst ja x - Achse, nicht y - Achse (das wäre x = 0).
Da die Kurve mit der x-Achse nur eine (positive) Nullstelle hat und sich auf der anderen (negativen) Seite der x-Achse asymptotisch nähert, muss das Integral zunächst mit variabler unterer Grenze (-x1 ! mit x1 > 0) berechnet und dann der Grenzübergang für x1 -> oo durchgeführt werden:
A(x1) = Int[x1;-1][2*e^x - e^(2x)]dx = [2*e^x - (1/2)*e^(2x)][x1;-1]
A(x1) = (2/e) - 1/(2*e²) - 2/e^(x1) + 1/(2e^(x1))
Bei x -> -oo ist x1 = -x = oo und die letzten beiden Summanden gehen gegen Null, weil der Nenner der Brüche unendlich groß wird.
Der Wert der zuerst noch von x1 abhängig gewesenen Fläche A(x1) ergibt sich somit zu
A = (2/e) - 1/(2*e²) = (4e - 1)/(2e²) = 0,66809 FE
Gr
mYthos |
X (hallihallo)
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Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 07:18: |
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vielen dank!jetzt zu dem f2(x)!Die 2hat jetzt keine so große bedeutung,weil ich in die gleichung schon statt a=2 eingesetzt hatte,ursprünglich war das so ein kleiner index! |
X (hallihallo)
Neues Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 07:21: |
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Aber was soll das mit der variablen untergrenze
-x1?wieso ausgerechnet -x1 als variable untergrenze?
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X (hallihallo)
Neues Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. Januar, 2003 - 07:25: |
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Und was soll das in der rechnung mit dem lnt [x1;-1]am anfang und [x1;-1]am schluss, soll da davor bzw. dahinter noch ein mal-Zeichen?Naja auf jeden fall verstehe ich die rechnung nicht wirklich!Könntest du mir das nochmal erklären?Wäre nett! |
mythos2002 (mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 335
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Januar, 2003 - 00:17: |
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x1 ist ja nur ein beliebiger Name für die Grenze, du kannst statt dessen auch a oder k nehmen, wichtig ist nur, dass diese Grenze nicht fix ist, sondern gegen - oo geht. Da diese Grenze, egal wie du sie benennst, auf jeden Fall negativ sein muss (Grenzübergang geht nach links gegen - oo), setzt du sie einfach -x, mit x selbst als positive Zahl! Daher erscheinen die e-Potenzen mit negativem Vorzeichen und es ist ja e^(-x) = 1/(e^x). Wenn jetzt x -> oo geht (d.h. -x gegen -oo), wird der Ausdruck 1/(e^x) -> 1/oo -> 0.
Und das [x1;-1] am Anfang und [x1;-1] am Schluss soll nur heissen, dass dies die Grenzen sind! Unmittelbar dahinter sehe ich eigentlich kein mal-Zeichen!
A(x1) = Int[x1;-1][2*e^x - e^(2x)]dx = [2*e^x - (1/2)*e^(2x)][x1;-1] heisst daher:
A1(x1) = Integr. in den Grenzen von x1 bis -1 =
[2*e^x - (1/2)*e^(2x)] in den Grenzen von x1 bis -1, dann die Grenzen einsetzen ...
Ok, ich hoffe, das ist jetzt verständlich.
Nachdem es wiederum so spät ist, beantworte ich dir ggf. das Andere, falls du es noch brauchst (?), am Samstag.
Gr
mYthos |
X (hallihallo)
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Benutzername: hallihallo
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| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Januar, 2003 - 10:25: |
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vielen dank für die erklärung!
Ja das andere brauche ich auch noch, da wir die aufgaben abgeben müssen. Wäre nett, wenn du mir da auch noch bei helfen könntest!
Nur noch eine Frage zu der a). Was das alles heißen sollte,habe ich dann später auch verstanden als ich es mir nochmal angeschaut hatte. Nur du schreibst zuerst dass du -x1 als grenze einsetzen willst, setzt aber später x1 als grenze. ist das so richtig? |
X (hallihallo)
Junior Mitglied
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Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. Januar, 2003 - 20:17: |
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Ich brauche dringend hilfe!es handelt sich um die Funktion
f(x)= e^x*(2-e^x)!
b)die tangente im kurvenpunkt (ln 2;0) schließt mit der zugehörigen kurvennormalen (die kurvennormale steht immer senkrecht zur Tangente) und der y-achse ein Flächenstück vollständig ein.Berechnen sie dessen flächeninhalt A!
c)für welches k gilt
integtral von k bis ln2 f2(x)dx= 0,5
(ich hoffe es ist verständlich was ich meine)
Deuten sie ihre ergebnisse geometrisch!
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X (hallihallo)
Junior Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 13:46: |
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Kann mir echt niemand helfen? |
X (hallihallo)
Junior Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 15:54: |
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Hilfe! Irgendjemand muss mir doch da helfen können! Ist wirklich wichtig! |
X (hallihallo)
Junior Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 9
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:33: |
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Bitte bitte bitte |
Robert (emperor2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: emperor2002
Nummer des Beitrags: 135
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:42: |
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Ich will ja nicht eingebildet klingen, aber
1) Für neue Fragen eröffnet man einen neuen Beitrag
2) Hast du dich mit der Aufgabe überhaupt mal selbst beschäftigt? Wenn ja, dann schreibe deine Ideen hier rein und beschreibe uns deine Probleme, denn das soll kein Fragen - Löse Board sein, auch wenn es oft so ist, leider!
Gruß Robert |
X (hallihallo)
Junior Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 10
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 16:52: |
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ja natürlich habe ich das,kann die beiden aber selbst nicht!habe es mir ja auch aufgezeichnet usw., aber weiß trotzdem nicht was das mit der kurvennormalen sein soll!außerdem ist das hier keine neue frage, mir wurde nur zu der a gesagt dass sie falsch ist wie ich sie gerechnet habe und die b) und c) die jetzt noch offen sind nichts. hätte ich da w as gewusst,hätte ich es ja hingeschrieben! |
mythos2002 (mythos2002)
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Benutzername: mythos2002
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Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 17:18: |
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Hallo,
wart noch a bissl, ich hatte dir ja versprochen, das andere zu beantworten, nur war ich bis jetzt verhindert. Ich melde mich dann ....
Gr
mYthos
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X (hallihallo)
Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 11
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 17:25: |
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Ich brauch es aber morgen!Ab morgen brauche ich es dann doch nicht mehr!Dann musst du dir keine mühe mehr machen!
viele grüße |
mythos2002 (mythos2002)
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Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 338
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 18:41: |
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Noch zu der Frage bei a)
==============================
...
Nur du schreibst zuerst dass du -x1 als grenze einsetzen willst, setzt aber später x1 als grenze. ist das so richtig?
...
==============================
Nicht ganz!
Die Grenze heisst allgemein x1, ist negativ und deshalb nenne ich sie -x (x ist dann eine positive Zahl), beim Einsetzen wird -x genommen und deshalb ergibt sich: e^(-x) und das ist eben 1/(e^x), usw.
b)
Für die Tangente in S(ln2|0) muss zunächst die Steigung kt ermittelt werden, sie ist gleich dem Wert der 1. Ableitung an der Stelle ln(2):
f '(x) = 2*e^x - 2*e^(2x)
kt = f '(ln2) = 4 - 8 = -4
(es ist e^ln2 = 2 und e^(2ln2) = e^ln4 = 4!)
Gleichung der Tangente (Stützpunkt S)
t ... y = -4*(x - ln2), Schnittpunkt T mit y-Achse (x = 0):
yt = 4*ln2 -> T(0|4*ln2)
Normale n, Steigung kn = -1/kt = 1/4
Gleichung der Normalen (Stützpunkt S)
n ... y = (1/4)*(x - ln2), Schnittpunkt N mit y-Achse:
yn = (1/4)*ln2 -> N(0|(ln2)/4)
Die gesuchte Fläche A besteht nun aus den beiden rechtwinkeligen Dreiecken OST und OSN (sh. Grafik) :
2A = 4*ln2*ln2 + (ln2*ln2)/4 = (17/4)*ln²2
A = (17/8)*ln²2 = 1,021 FE
c)
Das Integral von f(x), welches für die Berechnung von k notwendig ist, wurde bereits in a) berechnet. So setzen wir die Grenzen k und ln2 dort ein und das Ganze ist dann gleich 1/2:
Int[k;ln2](2*e^x - e^(2x))dx = 1/2
2*e^x - (1/2)e^(2x) [k;ln2] = 1/2
4 - (1/2)*4 - 2*e^k + (1/2) + e^(2k) = 1/2 |reduz. und *2
4 - 4*e^k + e^(2k) = 1
e^(2k) - 4*e^k + 3 = 0, quadr. Gl. in e^k
für e^k = z setzen, e^(2k) = z²
z² - 4z + 3 = 0
z1 = 3; z2 = 1
e^k = 3 oder e^k = 1; logarithmieren ->
k1 = ln3 oder k2 = 1 (ln1 = 0 weil e^1 = 0!)
Gr
mYthos
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X (hallihallo)
Mitglied
Benutzername: hallihallo
Nummer des Beitrags: 12
Registriert: 01-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 19:05: |
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Hi mythos!Vielen dank für die b) und die c). Nochmal zu der a). das ist mir jetzt wirklich klar,ich glaube aber du hast falsch gerechnet. Es kommt 1,33 FE raus weil die grenzen ln2 und -1 sind. Müsste so sein! Aber danke! vlg |
mythos2002 (mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 339
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 19:20: |
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Nochmals zu c)
Tippfehler!:
statt
4 - (1/2)*4 - 2*e^k + (1/2) + e^(2k) = 1/2
gehört
4 - (1/2)*4 - 2*e^k + (1/2)*e^(2k) = 1/2
Es muss aber noch ein Fehler drinnen sein, denn k sollte eigentlich (zumindest einmal) kleiner als ln2 werden ...
Aha, schon gefunden:
z² - 4z + 3 = 0
z1 = 3; z2 = 1
e^k = 3, logarithmieren -> k1 = ln3
oder
e^k = 1, logarithmieren -> k2 = 0 (weil e^1 = 0!)
Jetzt stimmt's.
1/2 ist jeweils die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse in den Grenzen von 0 bis ln2 bzw. (auf der anderen Seite) zw. ln2 und ln3!
Sorry für den Irrtum.
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
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Nummer des Beitrags: 340
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. Januar, 2003 - 19:29: |
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Bezüglich a) hast du Recht (A = 1,33191)! Ich hab das Ganze zu kompliziert gesehen! Na ja, dennoch haben wir dabei beide was gelernt ...
Aus der Graphik geht's eigentlich ohnehin schön hervor!
Gr
mYthos
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