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silke (silly00)
Neues Mitglied
Benutzername: silly00
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 08:17: | 
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Hallo! Ich habe mal so eine Frage. Stellt euch bitte mal vor, dass ihr drei Ebenen habt. Aufgabe ist es die Schnittmenge, also die Anzahl der Schnittpunkte herauszufinden. Wie mache ich das? Ich kann höchstens Schnittgeraden von zwei Ebenen bestimmen. Bringt mich das dann weiter?
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Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 688
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 10:29: |
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JA.
Geradengleichung G und Ebenengleichung E gleichsetzen
G = E
G = P + r*R, E = Q + s*S + t*T
wobei P,Q,R,S,T bekannt sind, r,s,t gesucht.
Vergleich G=E nun Komponentenweise
p1 + r*r1 = q1 + s*s1 + t*t1
p2 + r*r2 = q2 + s*s2 + t*t2
p3 + r*r3 = q3 + s*s3 + t*t3
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 150
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 12:19: |
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Ich hab hier nocn schönes Bild, kan ich leider nich einscannen, da sieht man schön wie drei ebenen zueinander liegen können!
1) Alle drei Parallel und nicht gleich
=>kein schnittpunkt oder gerade
2) Zwei paralel, die dritte schneidet beide
=>zwei Schnittgeraden
3)Die Ebenen stehen wie ein dreieck
=>drei schnittgeraden
4)Die ebenen liegen ganz konfus
=>ein schnittpunkt
5)dritte ebene läuft durch die schnittgerade von eins und zwei
=>eine Schnittgerade
mfg
tl198 |
silke (silly00)
Neues Mitglied
Benutzername: silly00
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 18:39: |
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Vielsten Dank.
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 240
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. November, 2002 - 21:41: |
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Hi,
noch allgemein etwas, was ich in einem anderen Forum mal über dieses Thema geschrieben habe....
Die Parametergleichung einer Ebene wird durch einen Vektor X (zu einem beliebigen Punkt der Ebene) beschrieben, wobei von einem Anfangspunkt ausgehend, eine Linearkombination zweier nicht paralleler Richtungsvektoren A und B angesetzt wird:
X = P + r*A + s*B;
die drei Ebenen lauten dann:
X1 = P1 + r1*A1 + s1*B1
X2 = P2 + r2*A2 + s2*B2
X3 = P3 + r3*A3 + s3*B3
------------------------------
Durch Gleichsetzen von
X1 = X2, X1 = X3 und X2 = X3
gelangt man, da für jede Ebene drei Beziehungen (für die x-, y- und z-Koordinaten) resultieren, zu einem System mit 9 Gleichungen in den 6 Variablen r1,s1,r2,s2,r3,s3.
Um zu einem eventuellen Schnittpunkt oder zu den Schnittgeraden zu kommen, muss dieses System nach den 6 Variablen aufgelöst werden. Der Lösungsweg führt über das Eliminationsverfahren.
Je nachdem, wie sich nun die Auflösung dieses Systemes gestaltet, wird es zu den verschiedenen Fällen kommen.
Im Falle eines existierenden Schnittpunktes erweisen sich davon drei Beziehungen als redundant, alle 6 Variablen lassen sich eindeutig bestimmen. Wieder zurück eingesetzt, ergeben sie den Lösungspunkt.
Die anderen Fälle, in denen sich die Parameter nicht eindeutig bestimmen lassen, müssen individuell (je nach Angabe) abgearbeitet werden.
Gehen die drei Ebenen durch eine Gerade, lassen sich beispielsweise die Parameter s1, s2, s3 vollständig eliminieren, weiters ist r1 = r2 = r3 =r) und es ergibt sich:
g: X = P + r*G
===============
Letztendlich, wenn alle drei Ebenen parallel zu einer Geraden sind, lassen sich wieder beispielsweise die Parameter s1, s2, s3 vollständig eliminieren, und es gibt drei verschiedene Lösungen für r1, r2, r3, aber nur einen Richtungsvektor (G):
g1: X = P1 + r1*G
g2: X = P2 + r2*G
g3: X = P3 + r3*G
===================
***********************
Es ist auch sinnvoll, die Ebenengleichungen (durch Eliminieren der Parameter in jeder Ebenengleichung für sich) parameterfrei zu machen:
Diese (parameterfreien) Gleichungen der drei Ebenen lauten dann:
a11*x + a12*y + a13*z = c1
a21*x + a22*y + a23*z = c2
a31*x + a32*y + a33*z = c3
-------------------------------
die aik sind nach Zeilen (i) und Spalten (k) indizierte Koeffizienten des durch die drei Ebenen bestimmten Gleichungssystemes, also steht z.B. a23 in der 2. Zeile und 3. Spalte.
Die von den Koeffizienten gebildete quadratische (3,3)-Matrix sei A.
Die drei Ebenen können verschiedene Lagen zueinander einnehmen, dementsprechend verhalten sich auch die Lösungen des Gleichungssystemes.
1. Alle drei Ebenen identisch
2. Ebenen zueinander parallel, zwei davon identisch
3. Alle drei Ebenen zueinander parallel, keine identisch
4. Zwei Ebenen parallel; die drei Ebenen schneiden sich in zwei zueinander parallelen Geraden.
5. Die drei Ebenen sind parallel zu einer Geraden, d.h. sie schneiden einander in 3 verschiedenen, zueinander parallelen Geraden, stehen aber sonst in beliebigen Winkeln zueinander. Sie stehen alle normal auf eine Ebene (sind auf diese projizierend, d.h. wenn man auf die Ebenen in Richtung dieser sieht, erscheinen die drei Ebenen als Dreieck)
6. Die drei Ebenen schneiden einander in einer Geraden (sie bilden ein Ebenenbüschel)
7. Die drei Ebenen schneiden einander in einem Punkt (sie bilden ein Ebenenbündel)
Nur im letzten Fall, wenn die drei Ebenen durch einen Punkt gehen, hat das Gleichungssytem ein einziges, eindeutiges Lösungstripel (xo; yo; zo), eben den Schnittpunkt. Der Rang der Matrix A ist 3, d.h. die von ihren Elementen gebildete 3,3 - Determinate D = Det(A) hat einen Wert
ungleich 0.
Bei allen anderen Fällen ist diese Determinate = 0!
Dabei kann eine Gleichung vollständig (linke und rechte Seite) von den anderen beiden abhängig (redundant) sein, sodass es nur zwei unabhängige gibt und somit eine "fehlt" (Fall 6). Man kann für eine Unbekannte einfach den Parameter r wählen und die anderen Variablen in r ausdrücken
-->
g: X = P + r*G
===============
Oder in diesem System sind die linken Seiten (mit x, y, z) bei einer Gleichung von den beiden anderen abhängig, aber die rechten Seiten (Konstanten) nicht (Fall 5). Dann lässt sich auf 3 Arten jeweils für eine Unbekannte der Parameter r wählen und die anderen Variablen in r ausdrücken - mit anderen Worten jeweils zwei Ebenen zum Schnitt bringen;
--> es ergeben sich drei Geraden mit verschiedenen Anfangspunkten, aber demselbem Richtungsvektor:
g1: X = P1 + r1*G
g2: X = P2 + r2*G
g3: X = P3 + r3*G
===================
Gr
mYthos
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