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Beitrag |
    
duc (ducviet)
Mitglied
Benutzername: ducviet
Nummer des Beitrags: 30
Registriert: 12-2000
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 21:36: | 
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Gegeben sind drei Punkte A, b und C. Die Ortsvektoren a, b, und c (die Pfeile müsst ihr euch vorstellen) dieser Punkte sind linear unabhängig. Geben sie eine Bedingung für die Zahlen r, s und t an, damit der Punkt mit dem Ortsvektor
r*a + s*b + t*c
in der durch A, B und C festgelegten Ebene liegt |
Ferdi Hoppen (tl198)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 22:59: |
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also wenn ich mich nicht irre,
dann müsste ein punkt der in der ebene liegt durch diese drei vektoren ausdrückbar seien!
d.h. er ist eine linear kombination der drei, d.h. linear abhängig.
=> r,s,t dürfen nicht null sein!
mfg
tl198 |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 227
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. November, 2002 - 15:04: |
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Hi Ferdi!
Hi alle!
Ein Punkt kann keine Linearkombination von Vektoren sein!
Hier geht es um den Ortsvektor.
Die Bedingung: r, s, t dürfen nicht alle 0 sein, würde nur dann hinreichend sein, wenn a,b,c IN der Ebene lägen.
Genau das trifft hier aber nicht zu, denn a, b, c sind 3 Ortsvektoren zu 3 Punkten der Ebene. Jeder 4. Vektor zu einem beliebigen Punkt in RxRxR ist ja automatisch von den ersten (lin. unabh.) dreien linear abhängig!
Folglich liegen IN der Ebene beispielsweise die Vektoren AB und AC. Ein weiterer Punkt D, dessen Ortsvektor r*a + s*b + t*c beträgt, liegt nur dann in der Ebene, wenn z.B. AD eine Linearkombination von (b-a) und (c-a) ist:
r*a + s*b + t*c - a = u*(b-a) + v*(c-a); u, v € R und u,v <> 0,0
a*(r-1) + s*b + t*c = u*b - u*a + v*c - v*a
(r+u+v-1)*a + (s-u)*b + (t-v)*c = 0
da a,b,c lin. unabhängig, müssen alle Klammern den Wert 0 haben ->
r + u + v = 1
s - u ... = 0
... t - v = 0
---------------
r + s + t = 1 (durch Addition)
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Ein interessantes und verblüffendes Ergebnis!
Gr
mYthos
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