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Michael Andresen (michaelg)
Neues Mitglied
Benutzername: michaelg
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 17:32: | 
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meine guete, da blick ich noch nicht ganz durch. habens neulich im unterricht hergeleitet, und war alles nachvollziehbar; aber jetzt...
mag mir jemand kurz erklären, wie ich eine ebenengleichung in die achsenabschnittsform umforme? bei der herleitung haben wir ja spurpunkte benutzt, aber wie ich die form jetz aus einer normalen gleichung entwickel entzieht sich meinem verstand.
Nett waere auch, wenn wer ein paar worte zum Sinn der achsenabschnittsform verlieren koennte.
was ne achsenabschnittsform generell ist weiss ich noch, halt die beschreibung einer gerade oder hier einer eben mittels der achsenschnittpunkte, und ohne parameter, aber dann hoerts bei mir auch auf
danke und gruss, michael |
Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 153
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 17:53: |
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Hallo
Ich nehme mal an, du willst wissen, wie man aus einer Koordinatengleichung einer Ebene die Parametergleichung dieser Ebene bestimmt?
Dann kannst du folgendes machen, denn es gibt ja mehrere Möglichkeiten:
Angenommen die Gleichung hat die Form:
3x1 + 5x2 + 9x3 = 45
Dann ist der Spurpunkt S1(15/0/0).
Da die x2 und x3 Koordinate bei diesem Spurpunkt NULL sein müssen, musst du nur die x1 Koordinate berechnen (45/3 = 15).
Entpsrechend:
S2(0/9/0)
S3(0/0/5)
Nun hast du drei Punkte. 3 Punkte bestimmen eine Ebene eindeutig (in diesem Fall).
Parametergleichung der Ebene:
0S1 sei der Ortsvektor
r sei der Vektor von S1 nach S2
s sei der Vektor von S1 nach S3
x = (15/0/0) + r(-15/9/0) + s(-15/0/5)
(kannst noch kürzen)
Wenn du eine Parametergleichung einer Ebene in eine Koordinatengleichung umformen willst, wird es ein wenig komplizierter:
Du hast 3 Gleichungen:
x1 = 15 - 15r -15s I.
x2 = 0 + 9r II.
x3 = 0 + 5s III.
du formst II. und III. mach s bzw. r auf und setzt in I. ein. Dann erhältst du eine Gleichung mit x1, x2, und x3. Dies ist dann die Koordinatengleichung der Ebene. Normalerweise ist es aber nicht so einfach.
Vorteil der Koordinatengleichung ist es, die Spurpunkte gleich ohne viel zu rechnen, angeben zu können. Mit ihr kann man auch viel leichter rechnen (HNF, Abstände, ...)
MfG Klaus
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 223
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 18:54: |
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Ich denke, es geht dem Michael hier NICHT um die Umwandlung von der Parameterform in die Normalform und umgekehrt.
Die Frage war, wie man aus der (parameterfreien) Ebenengleichung die Achsenabschnittsform gewinnt.
Das ist sehr einfach, angenommen, die Gleichung hat die Form:
3x1 + 5x2 + 9x3 = 45, dann dividieren wir durch 45 (damit rechts 1 steht):
x1/15 + x2/9 + x3/5 = 1
Die Abschnitte auf den Achsen sind nun 15, 9 und 5!
Allgemein lautet die Achsenabschnittsform
x1/c + x2/d + x3/e = 1, ganz analog wie bei der Geraden in RxR
Die Spurpunkte (Schnittpunkte mit den Achsen) sind S1(c|0|0), S1(0|d|0) und S1(0|0|e).
Daraus läßt sich auch sehr einfach die o.a. Abschnittsform herleiten.
Gr
mYthos
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Michael Andresen (michaelg)
Neues Mitglied
Benutzername: michaelg
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 19:25: |
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huch, ich merke schon ich habe mit meinem luschigem ausdruck für verwirrung gesorgt.
also es war etwa so wie mythos sagte, nur einen schritt vorher beginnend.
mir gegeben waren 3punkte, aus denen ich die ebnenegleichung mit parameter entwickelt habe, sodass ich nun wie ueblich
ortsvektorPunkt1+ein vielfaches von richtungsvektor u + ein vielfaches von richtungsvektor v
ich wollt jetzt eigentlich nicht konkret auf die aufgabe eingeben, aber ich geb einfach mal die ebene, manchmal is konkret besser als allgemein
<pre>
2 -1 0
E: r= 5 + p 4 + q -2
-3 0 6
</pre>
(denkt euch einfach die vektorklammern)
theoretisch sollte ich nun eigentlich in der lage sein, die parameter zu entfernen, wenn ich die 3 gleichungen fuer die einzelnen koordinaten erstelle, aber diese umrechnung faellt noch in meinen defizitbereich |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 224
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 22:12: |
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Wenn dem so ist, musst du so vorgehen, wie Klaus es geschrieben hat.
Die Ebenengleichung kannst du auch der besseren Ansicht wegen (hier im Forum) in Zeilenvektorform (transponiert) schreiben:
x = (2;5;-3) + p*(-1;4;0) + q*(0;-2:6)
Du kannst entweder die Parameter nach dem von Klaus angegebenen Verfahren eliminieren oder mit dem Normalvektor der beiden Richtungsvektoren skalar multiplizieren, auch dann fallen die Parameter weg, denn das skalare Produkt jedes der Richtungsvektoren mit dem Normalvektor muss 0 sein.
Schöner ist's mit dem Normalvektor:
Der Normalvektor auf (-1;4;0) und (0;-2:6) ist gleich dem Vektorprodukt der beiden:
|-1 4 0|
|0 -2 6| = (24;6;2) bzw. gekürzt (12,3;1)
|i j k |
(i, j, k sind die Einheitsvektoren auf den Achsen, die Komponenten des
Vektorproduktes ergeben sich durch Auflösung der Determinante nach den Elementen der 3. Zeile)
(12,3,1)*(x;y;z) = (2;5;-3)*(12,3;1) + p*0 + q*0
12x + 3y + z = 24 + 15 - 3
12x + 3y + z = 36
Nun ist die Abschnittsform leicht zu ermitteln (durch 36 dividieren)
x/3 + y/12 + z/36 = 1
Die Abschnitte auf den Achsen sind 3, 13, 36, bzw. die Spurpunkte S1(3|0|0), S1(0|12|0), S3(0|0|36)
Gr
mYthos
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