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Kathrin (usgirl)
Neues Mitglied
Benutzername: usgirl
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 23:24: | 
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Hi ihr!
Ich hoffe, ihr koennt mir bei meinem Problem weiterhelfen. Hier ist die Aufgabe:
Ein Kreiszylinder haelt 22 cubic inches von einem Softdrink. Die Kosten fuer das Material fuer den Deckel und den Boden ist doppelt so gross, wie die Kosten fuer die Seite(n).(r=radius, h=hoehe)
a) Schreibe die Formel fuer die Oberflaeche.
b) schriebe die Funktion fuer die Kosten, C.
c) schreibe die Funktion fuer die Kosten mit einer Vaiablen, r.
d) finde den radius, der die Kosten minimizes.
Ich habe eine Antwort fuer a) mein problem sind b) und d). Ich glaube c) kann ich alleine loesen, wenn ich b) habe!
Ich hoffe, dass mir jemand helfen kann ist super wichtig!
danbe Kati
(sorry fuer die schlechte Uebersetzung!) |
Friedrich Laher (friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 671
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. November, 2002 - 11:06: |
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c)
s = Kosten / square inch, für Seitenfläche ( Mantel ) des Zylinders
2s= Kosten / square inch, für Deckel und Boden
C = s * MantelFläche + 2*s*( BodenFläche + DeckelFläche )
C = s*[ MantelFläche + 2*( BodenFläche + DeckelFläche) ]
wie groß s ist,
ist
dann für d), den Radius für den die Kosten minimal sind,
egal.
d)
Du mußt C nach r differenzieren ( 1st derivate of C(r) )
das
Ergebnis sei C'(r)
und
für die minimalen Kosten muß die Gleichung C'(r) = 0
nach
r aufgelöst werden.
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermasßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 220
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 15:32: |
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Hi,
die Formel für die Oberfläche ist:
O = 2*G + M
O = 2*pi*r²*h + 2*pi*r*h
(der erste Summand sind die zwei Kreisflächen, der zweite ist der Mantel des Zylinders)
Die Kosten C sind
C = 4*pi*s*r² + 2pi*s*r*h
C = 2*s*pi*(2r² + r*h),
wenn s der Einheitsbetrag für die Mantelfläche ist (für die Kreisflächen ist dieser dann 2s).
Da die Kosten C noch zwei Variable (r, h) enthalten, muss man mit Hilfe einer Nebenbedingung (Zusammenhang zwischen diesen beiden Variablen r und h) die Kostenfunktion nur mehr von einer Variablen (r) abhängig machen.
Dieser Zusammenhang ist durch das Volumen gegeben, es ist
V = pi*r²*h = 22 SqInch, daraus ->
h = 22/(pi*r²)
h*r = 22/(pi*r), dies in C einsetzen ->
C = 2*s*pi*(2r² + 22/(pi*r))
Da die Kosten C jetzt nur von r abhängen (s ist ein konstanter Faktor), kann die Funktion nach r differenziert werden, wobei der konstante Faktor 2*s*pi für die Ermittlung des Extremwertes vorübergehend weggelassen werden kann.
C(r) = 2r² + 22/(pi*r)
C'(r) = 4r - 11/(pi*r²)
C''(r) = 22/(pi*r³) > 0, daher Minimum!
C'(r) = 0 für den Extremwert
4r - 11/(pi*r²) = 0
4r = 11/(pi*r²)
r³ = 11/(4*pi)
r = crt[11/(4*pi)] .. crt = cubic-root
r = 0,9566 inch
Gr
mythos |
Kathrin (usgirl)
Neues Mitglied
Benutzername: usgirl
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. November, 2002 - 22:12: |
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Danke, fuer die Hilfe!
Kati |
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