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Sue (sue2001)
Mitglied
Benutzername: sue2001
Nummer des Beitrags: 13
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. November, 2002 - 16:10: | 
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Hallo !
Könnt ihr mir bei der Aufgabe helfen??
Der Graph f mit f(x)=(x^3)-3x rotiere um die Tangente im Tiefpunkt. Dabei entsteht ein zwiebelförmiger Körper, dessen Volumen zu berechnen ist.
Vielen Dank Sue
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Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 249
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. November, 2002 - 17:00: |
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Hallo,
wir brauchen erst mal den Tiefpunkt:
f(x)=x^3-3x
f'(x)=3x^2-3
f''(x)=6x
3x^2-3=0 => x1,2=+-
Wegen f''(1)=6>0 ist der TP bei (1/-2)
Das f(-2)=-2 wird durch die Tangente im Tiefpunkt und die Kurve ein Flächenstück eingeschlossen, das nun rotieren soll.
Wir verschieben den Funktionsgraphen so, dass der Punkt (-2/-2) im Ursprung des Koordinatensystems landet, also um zwei nach rechts und um 2 nach oben.
g(x)=(x-2)^3-3(x-2)+2=x^3-6x^2+9x
Der Tiefpunkt landet daduch bei (3/0).
Jetzt braucht man nur noch das Rotationsvolumen bei Rotation um die x-Achse von g(x)zu berechnen.
pi*INT (g(x))^2 dx=pi*INT (x^6-12x^5+54x^4-108x^3+81x^2)dx jeweils von 0 bis 3
F(x)=pi(1/7x^7-2x^6+10,8x^5-27x^4+27x^3)
F(3)=(729/35)pi
F(0)=0
Das Volumen beträgt 65,43488698 RE.
ZUr Verschiebung der Funktion:
Gruß
Peter |
Sue (sue2001)
Mitglied
Benutzername: sue2001
Nummer des Beitrags: 14
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. November, 2002 - 00:11: |
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Schon mal vielen Dank für die schnelle Antwort !! Werde mir das ganze nun mal zu Gemüte führen und ich hoffe, dass ich es auch verstehe :-)
VIELEN DANK !!!
Sue |
Sue (sue2001)
Mitglied
Benutzername: sue2001
Nummer des Beitrags: 15
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. November, 2002 - 17:57: |
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Hallo !
Hätte noch eine Frage:
Warum verschiebst du denn den Funktionsgraphen (um 2 nach rechts und 2 nach oben damit der Punkt (-2/-2) im Ursprung liegt?)
Verändert sich damit denn nicht auch das Volumen der Zwiebel??? Woher weiß ich, dass ich das Intervall von 0 bis 3 berechnen muss???
Bitte um Hilfe !!!
Liebe Grüße und vielen Dank Sue |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 256
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. November, 2002 - 14:49: |
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Hallo,
die Verschiebung habe ich deswegen durchgeführt, weil für das Volumen eines Rotationskörpers, der bei Rotation um die x-Achse entsteht, die praktische Formel V=pi*INT f^2(x) dx zur Verfügung haben, aber keine direkte für Rotationen um Parallelen zur x-Achse.
Das Volumen ändert sich nicht, da der Funktionsgraph sich auch nicht ändert (hoffentlich im Bild erkennbar).
Zur Verschiebung: nach rechts/links verschiebt man, indem man im Argument ("bei x") eine positive Zahl subtrahiert/addiert; nach oben oder unten, indem man zu f(x) eine positive Zahl addiert/subtrahiert.
Die Tangente berührte die Kurve in (1/-2) und schnitt sie in (-2/-2). Dadurch wurde eine Flächenstück zwischen -2 und 1 begrenzt, welches rotierend die "Zwiebel" erzeugt. Nach der Verschiebung liegt eben dieses Flächenstück zwischen 0 und 3.
Gruß
Peter |
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