    
Sarah Pesch (spin)
Neues Mitglied
Benutzername: spin
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 13:10: | 
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Ich brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe!
Gegeben sind die Funktionen f von k (x) = x²+kx+k mit x Element R
a) Untersuche allgemein die Funktion f von k.
b)Zeige,dass alle Extrempunkte der Funktionenschar f von k auf der Parabel zu
y=-x²-2x liegen.
c)Für welche k liegt der Extrempunkt von f von k oberhalb der x-Achse?
Danke schon im Voraus!
Sarah |
Peter (analysist)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: analysist
Nummer des Beitrags: 233
Registriert: 04-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 13:59: |
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Hallo Sarah,
vom prinzip gehst du hier vor wie bei jeder anderen Kurvendiskussion auch. Das k wird dabei wie eine gewöhnliche reelle Zahl behandelt.
Diskussion;
Ableitungen auf Vorrat:
fk (x) = x²+kx+k
fk'(x)=2x+k
fk''(x)=2
fk'''(x)=0
1) ID=IR (es gibt nichts Einschränkendes)
2) Symmetrie liegt nur für k=0 vor, dann ist die Funktion die Normalparabel (Graph a.s. zur y-Achse). Für alle k<>0 ist der Graph werder a.s. noch p.s.
3) Schnittpunkte mit den Ko.-Achsen
a) mit y-Achse fk(0)=k => Sy(0/k)
b) fk(x)=0
x^2+kx+k=0
x1,2=-k/2+-SQRT(k^2/4-k)=-k/2+-SQRT((k^2-4k)/4)
Fallunterscheidung:
k^2-4k=k(k-4)
für k>4 zwei Nullstellen bei
x1=-k/2+SQRT((k^2-4k)/4)
x2=-k/2-SQRT((k^2-4k)/4)
für k=4 eine Nullstelle bei x=-2
für 0<k<4 keine Nullstellen
für k=0 eine Nullstelle bei x=0
für k<0 zwei Nullstellen bei
x1=-k/2+SQRT((k^2-4k)/4)
x2=-k/2-SQRT((k^2-4k)/4)
4) Extrempunkte
Notw. Bed. fk'(x)=2x+k=0
2x+k=0
x=-k/2
fk''(-k/2)=2 >0, also TP ((-k/2)/(-k^2/4+k))
5) Wendepunkte
Da fk''(x)=2<>0, gibt es keine Wendepunkte
6) Verhalten im Unendlichen
lim fk(x)= +00
x-> +OO
lim fk(x)= +00
x-> -OO
7) Graphen siehe unten
b) Bed. für Extremstelle war x=-k/2 => k=-2x
Setze k=2x in fk(x) ein und du erhälst die Ortskurve, auf der alle Extrempkte liegen
o(x)=x^2-2x^2-2x=-x^2-2x q.e.d.
c) Der Funktionswert von TP muss dann größer als Null sein, also
-k^2/4+k>0 // *4
-k^2+4k>0
k(-k+4)>0
Dass Produkt wird dann größer Null, wenn beide Faktoren entweder positiv oder negativ sind.
Mgklk.1 k>0 und k<4, kurz 0<k<4
Mgklk.2 k<0 und k>4 nicht möglich
Graphen von zu fk(x) mit k aus {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5}
Gruß
Peter |
