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Knut (knut)
Neues Mitglied
Benutzername: knut
Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 13:08: | 
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Hi !!!!
kann mir jemand
a) sin²x
b) cos²x
ableiten?
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 143
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 15:38: |
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Hallo
a)
Ist eigentlich nicht anderes als sinx * sinx
Nach der Produktregel:
(sin2x)' = cosx * sinx + sinx *cosx = 2sinx*cosx
b) entsprechend:
(cos2x)' = -sinx*cosx + cosx*(-sinx) = -2sinx*cosx
MfG Klaus |
Knut (knut)
Neues Mitglied
Benutzername: knut
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 16:50: |
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Hallo Klaus
das dachte ich mir auch,
doch unser Lehrer leitete dies von
cos(alpha)=(e^(i*alpha)+e^(-i*alpha))/2
ab und kam dann auf 1/2*(1-cos2x)
nur den weg dorthin hat er nicht beschrieben.
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Klaus (kläusle)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: kläusle
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 08-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 17:37: |
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Hallo
Will ja nichts sagen, aber dein Lehrer macht da aus einer Mücke einen Rießenelefanten. Warum er den Weg nicht beschrieben hat, ist auch klar. Dazu braucht man die Komplexen Zahlen und dann wird's ein wenig komplizierter...
MfG Klaus |
Knut (knut)
Junior Mitglied
Benutzername: knut
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 20:11: |
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na da siehst du mal was von uns verlangt wird
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 696
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 20:38: |
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Hi Knut
Ihr scheint ja grad komplexe Zahlen zu behandeln, deshalb werde ich mal versuchen das ein wenig zu erklären. Erstmal wie man zu obiger Formel kommt.
Ich hoffe mal dir ist die Euler-Formel bekannt:
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)
[Lässt sich über die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion herleiten]
Schauen wir und mal deinen Term an und vereinfachen ihn nach der Eulerformel.
(e^(i*a)+e^(-i*a))/2
=(cos(a)+i*sin(a)+cos(-a)+i*sin(a))/2
=cos(a)
, denn cos(-x)=cos(x)
sin(-x)=-sin(x).
Jetzt leiten wir deine Funktion mal nach a ab.
f(a)=[(e^(i*alpha)+e^(-i*alpha))/2]^2
f'(a)=1/2*(i*e^(i*a)-i*e^(-i*a)*(e^(i*a)+e^(-i*a))
=1/2*i*(e^(2ia)-e^(-2ia))
=1/2*i*(cos(2x)+i*sin(2x)-cos(-2x)-i*sin(-2x))
=-sin(x)
=-2*sin(x)*cos(x)
Naja, das ist die gleiche Formel, die Klaus auch schon hergeleitet hat, nur eben auf nem viel leichteren Weg 
Die Formel von deinem Lehrer ist übrigens falsch. Das kannst du leicht überprüfen, indem du einfach mal Werte einsetzt. Die stimmen nicht mit denen von unserer Ableitungsfunktion überein. Und die ist in jedem Fall richtig.
MfG
C. Schmidt
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 697
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 20:49: |
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Hmm, mir ist grad nochwas an der Formel von deinem Lehrer aufgefallen, ich glaube ich weiss jetzt woher die kommt:
1/2*(1-cos(2x))
=1/2-1/2*[1/2*(e^(2ix)+e^(-2ix))]
=1/2-1/4*e^(2ix)-1/4*e^(-2ix)
=(1/2*i*e^(ix)-1/2*i*e^(-ix))^2
=(1/2*i*(cos(x)+i*sin(x)-cos(x)+i*sin(x)))^2
=(sin(x))^2
Die Formel ist im Prinzip deine erste abzuleitende Funktion. Was das jetzt zu bedeuten hat kann ich dir auch nicht sagen.
MfG
C. Schmidt |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 211
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 21:37: |
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Dazu braucht nicht unbedingt die Produktregel.
Nach der Kettenregel ist:
(sin²x)' = 2*sin(x)*cos(x) .. cos(x) ist die innere Ableitung! -->
(sin²x)' = sin(2x)
(cos²x)' = -2*cos(x)sin(x) = -sin(2x)
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 212
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. November, 2002 - 22:36: |
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@christian
.. das kann ich dir schon sagen:
Die Formel ist eine goniometrische Beziehung für den halben Winkel (der "Beweis" mit der Eulerschen Formel ist zwar nicht falsch, aber hier gänzlich obsolet und total umständlich) und lautet eigentlich:
cos(x/2) = sqrt[(1 + cosx)/2] bzw.
sin(x/2) = sqrt[(1 - cosx)/2];
diese kann auch für den ganzen Winkel verwendet werden:
sin²x = (1 - cos(2x))/2
cos²x = (1 + cos(2x))/2
statt sin²x kann nun (1 - cos(2x))/2 abgeleitet werden: ->
Die Ableitung ist - (- sin(2x)*2 = 2sin(2x)!
Die vom Lehrer verwendete Formel
cos(alpha)=(e^(i*alpha)+e^(-i*alpha))/2
ist RICHTIG und identisch mit
cos(x) = cosh(i*x), nebenbei ein sehr schöner und interessanter Zusammenhang der trigonometrischen mit den Hyperbelfunktionen!
Desgleichen ist
i*sin(x) = sinh(i*x)
Auch umgekehrt gilt:
sinh(x) = -sin(ix)
cosh(x) = cos(ix)
Diese Formeln sind ganz leicht mit den Potenzreihen für e^x, sin(x) und cos(x) zu verifizieren!
Gr
mYthos
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Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 698
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. November, 2002 - 12:42: |
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Hi mythos
Ich dachte am Anfang 1/2*(1-cos(2x)) sollte die Ableitung sein von cos²(x). So kam meine Aussage zustande, dass die Formel des Lehrers falsch sei. Mir ist dann ja später noch aufgefallen, dass sin²(x)=1/2*(1-cos(2x)) gilt, aber dass man dann einfach die rechte Seite ableitet ist mir komischerweise nicht aufgefallen. Naja, auf jeden Fall ist das sicher der umständlichste Weg den es gibt um die Ableitung von sin²(x) zu bestimmen. Ich häte das auch ganz einfach mit der Kettenregel gemacht. Fürs Integrieren eignet sich die obige Formel allerdings schon besser.
MfG
C. Schmidt |
