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Beitrag |
    
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 18:00: | 
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Hi Leute!
Ich gebe zu, ich war schon ewig nicht mehr hier, vermutlich kennt mich schon niemand mehr, aber ich habe diesmal ein ziemlich peinliches Problemchen...
Mein Nachhilfeschüler kam mit dieser Aufgabe an und wollte, dass ich ihm dabei helfe, und ich dachte zuerst, das wäre kein Problem, aber dann wurde es doch eins...
Erstmal die Aufgabe:
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Für welche Werte von a und b sind die folgenden Vektoren linear unabhängig?
(a) (2) (3)
(1) (4) (7)
(5) (9) (b)
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Also grundsätzlich ist mir schon klar, dass drei Vektoren lin. abhängig sind, wenn es möglich, zwei reele Zahlen r,s zu finden, sodass
"1.Vektor" = r*"2.Vektor" + s*"3.Vektor"
ist
bzw. wenn es möglich drei reelle Zahlen r,s,t außer r=s=t=0 zu finden, sodass
r*"1.Vektor" + s*"2.Vektor" + t*"3.Vektor" = Nullvektor
Das daraus resultierende LGS mit Gauß-Verfahren zu bearbeiten, war auch noch machbar, aber dann kam ich nicht mehr weiter, weil dann Tausende von Fallunterscheidungen kamen, und ich mir dann irgendwann gedacht habe, so kompliziert kann diese Aufgabe nicht sein...
Vielleicht denke ich zu kompliziert... oder ich bin doch schon zu lange aus dem Stoff raus, sodass ich nicht mehr weiß, wie das funktioniert...
Wäre nett, wenn sich mal jemand damit beschäftigen würde...
Ciao,
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 18:53: |
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Cradle
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 00:05: |
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Hallo zusammen, zur Ergänzung möchte ich noch auf die praktische Deutung mit Hilfe des Spatprodukts hinweisen, vielleicht hilft dies dem Schüler noch zur Veranschaulichung.
Die Vektoren u=(a,1,5), v=(2,4,9) und w=(3,7,b) sind genau dann voneinander linear unabhängig, wenn das Volumen des von ihnen aufgespannten Spates ungleich Null ist.
"x" ist der Operator des Vektorprodukts, "*" derjenige des Skalarprodukts:
u x v = (-11,10-9a,4a-2)
(u x v)*w = (-11,10-9a,4a-2)*(3,7,b) = -33+70-63a+4ab-2b
Wenn dies gleich Null gesetzt wird, gilt analog zur Rechnung von Fern
(die für die Vektoren (a,1,5), (2,4,5) und (3,7,b) durchgeführt wurde):
-33+70-63a+4ab-2b=0
=> 37-2b = 63a-4ab
=> 37-2b = (63-4b)*a
=> a=(37-2b)/(63-4b)
z.B. wird mit b=13:
a=11/11 =1
so dass die Vektoren
u=(1,1,5), v=(2,4,9) und w=(3,7,13)
voneinander linear abhängig werden.
Für alle a mit a ¹ (37-2b)/(63-4b)
sind u, v und w linear unabhängig. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 00:43: |
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Hi Fern!
Vielen Dank schon mal!!!!!
Ich gebe zu, das mit der Determinante ist ein sehr geschickter Weg... Angenommen, die Determinante wurde noch nicht eingeführt?
(in diesem Mathe-Buch, aus dem diese Aufgabe stammt, wurde sie noch nicht erwähnt)
Dann müsste es doch auch irgendwie mit dem Gauß-Verfahren zu machen sein... Ich werde mich nochmal dransetzen... Aber ich weiß jetzt zumindest, was rauskommen muss...
Danke für die Hilfe
Ciao,
Cosine |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 00:45: |
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und natürlich auch vielen Dank an Cradle!!!
Ciao
Cosine |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 09:45: |
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Gruß,Fern |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 10:36: |
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Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 13:59: |
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Hi,
würde die Zeilenumformungen etwas anders machen.
Ausgangsmatrix
Erster Schritt:
Zweiter Schritt:
| 1 | 4 | 7 | | 0 | 11 | 35-b | | 0 | 0 | 37 - 63a - 2b + 4ab |
Das schränkt die Fallunterscheidungen enorm ein, da hier nur noch der 3-3-Eintrag der letzten Matrix zu betrachten ist.
Bei Fern wären nämlich noch a=0 und a=2 zu diskutieren, da während der Rechnung dadurch geteilt wird.
Die Paare (a,b), für die Vektoren linear abhängig sind, liegen in der a-b-Ebene auf einer Hyperbel mit den Asymptoten a = 2 und b = 63/4. |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 19:40: |
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Nochmal vielen, vielen Dank!!!
Mit dieser Antwort kann ich schon wieder viel mehr anfangen!
Es ist wahr: Weder Skalar-, noch Vektorprodukt wurden bereits durchgenommen, und wenn die Lehrerin ihre Vorgehensweise nicht verändert hat, seitdem ich sie genossen habe, dann werden sie das Vektor(=Kreuz)-Produkt auch überhaupt nicht durchnehmen. Damit erübrigt sich die Spat-Produkt-Lösung natürlich auch...
Also, vielen, vielen Dank!!!
Vieleicht schaue ich in nächster Zeit wieder häufiger vorbei (allerdings bin ich jetzt erstmal eine Woche weg)
Ciao
Cosine |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 19:58: |
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Meinte natürlich, dass bei a = 1/2 die Asymptote liegt, und dass in Ferns Lösung durch a bzw. 4a-2 geteilt wird, und deshalb die Fälle a = 0 und a = 1/2 gesondert betrachtet werden müssen.
Gruß
Zaph |
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