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Julia
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 14:23: | 
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Hallo,
ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter!
Bestimme den Wert von a so, dass die Ebene E die Kugel k berührt. Berechne dann die Koordinaten der Berührpunkte.
E: 2x1 -3x2 +ax3= 0;
k: x1² +x2² +x3² -4x1 +6x2 -10x3 +13= 0 |
Julia
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 14:25: |
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Bitte erklärt mir, wie man an die Aufgabe lösen kann!
vielen Dank und mit freundlichem Gruß,
Julia |
lnexp
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 03:18: |
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Erstmal muss man den Mittelpunkt und den Radius der Kugel durch quadratische Ergänzung bestimmen:
K: x12 - 4x1 + 4 - 4 + x22 + 6x2 + 9 - 9 + x32 - 10x3 + 25 - 25 + 13 = 0
Die rotgefärbten Zahlen und die + 13 ergeben -25, und wenn man das mit +25 nach rechts bringt
K: ( x1 - 2 )2 + ( x2 + 3 )2 + ( x3 - 5)2 = 52
Der Kugelmittelpunkt ist also M( 2 | -3 | 5 ) und der Radius ist r = 5.
Jetzt braucht man noch die Hessesche Normalenform (HNF) von E, die den Normalenvektor n=( 2 ; -3 ; a ) mit der Länge |n|=Ö(22+(-3)2+a2)=Ö(13+a2) hat:
HNF von E : ( 2x1 - 3x2 + ax3 ) / Ö(13+a2) = 0
Jetzt wird da M eingesetzt (mit Betrag im Zähler) und dabei muss r = 5 bei rauskommen:
|4+9+5a| / Ö(13+a2) = 5
|13+5a| = 5 Ö(13+a2) ...jetzt quadrieren
(13+5a)2 = 25(13+a2)
169+130a+25a2 = 325+25a2 |-25a2-169
130a = 156
a = 6/5 |
Julia
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 11:33: |
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Hallo Inpex vielen Dank für deine Lösung! |
Michael
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 12:04: |
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die Lösung wurde sehr gut beschrieben
jetzt fehlt nur noch der Berührpunkt
dazu stellt man die Lotgerade durch den Kugelmittelpunkt M zur Ebene E auf
Gerade hat M als Punkt und den Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor
also
x = (2;-3;5) + s(2;-3;6/5)
der Schnittpunkt dieser Geraden mit der Ebene ergibt den Berührpunkt:
Gerade in Ebene einsetzen
vorher umschreiben:
x1 = 2 + 2s
x2 = -3 - 3s
x3 = 5 + (6/5)s
in E eingesetzt:
2(2+2s) - 3(-3-3s) + (6/5)(5+(6/5)s) = 0
ausmultiplizieren, zusammenfassen und nach s auflösen:
4+4s+9+9s+6+(36/25)s=0
19+(361/25)s=0
s=-475/361
in Geradengleichung einsetzen und damit die Koordinaten des Berührpunktes ausrechnen:
x1 = 2 + 2(-475/361) = -12/19
x2 = -3 - 3(-475/361) = 18/19
x3 = 5 + (6/5)(-475/361) = 65/19
Berührpunkt B( -12/19 | 18/19 | 65/19 )
Kontrolle, ob B auch in der Ebene E liegt:
2*(-12/19) -3*(18/19) +(6/5)*(65/19) = 0
Ebenengleichung ist erfüllt |
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