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flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 20:15: | 
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In einem Raum gibt es einen automatischen Feuermelder, der in der Zeit zwischen zwei Wartungen eine existierende Feuergefahr mit der Wahrscheinlichkeit p anzeigt.
Um die Sicherheit zu erhöhen sollen zwei solcher Feuermelder nebeneinander installiert werden, die unabhängig voneinander reagieren. Um wieviel Prozent lässt sich die Sicherheit durch diese Maßnahem maximal steigern? Um wieviel Prozent erhäht sich die Sicherheit, wenn p größer ist als 0,9?
Zu der ersten Frage würde ich sagen die Wahrscheinlichkeit erhöht sich maximal um 100% oder? Denn wenn ein Feuermelder mit der Wahrscheinlichkeit p reagiert, müßten doch dann zwei mit der Wahrscheinlichkeit 2p reagieren oder??
Aber wie berechne ich das wenn p>0,9 ist???
Kann mir bitte, bitte jemand weiterhelfen???
Danke!!!
Gruß Flo |
Zaph
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. September, 2001 - 21:40: |
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Hallo Flo,
deine Antwort "erhöht sich maximal um 100%" ist in sofern korrekt, wenn du damit meinst, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Meldung bei Feuergefahr nicht größer als 2p sein kann.
Aber, 2p für die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nicht korrekt. Wenn z. B. p = 0,9, dann ist ja 2p = 1,8. Und Wahrscheinlichkeiten, die größer als 1 sind, gibt es nicht.
Du musst die Möglichkeit berücksichtigen, dass BEIDE Melder ausfallen. Also wird die Wahrscheinlichkeit kleiner als 2p, bzw. die Steigerung der Sicherheit KLEINER als 100% sein.
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Melder ausfallen, beträgt
(1 - p)*(1 - p).
Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Melder Alarm gibt, gleich
1 - (1 - p)*(1 - p)
= 1 - (1 - 2p + p²)
= 2p - p²
Die Sicherheit erhöht sich somit mit dem zweiten Melder von p auf 2p - p², also um p - p².
Da nicht exakt angegeben ist, wie groß p sein soll (sondern nur p > 0,9) kann hier auch keine exakte Prozentzahl angegeben werden.
Aber, da p > 0,9, folgt (klar wieso?)
2p - p² > 1,8 - 0,9² = 0,99.
Man kann also sagen, dass sich die Sicherheit von 0,9 auf mehr als 0,99, also um mindestens 10% erhöht. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 21:05: |
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Also so ganz klar ist mir das leider nicht.
Ich versteh nicht ganz, warum die Wahrscheinlichkeit dass mindestens ein Melder Alarm gibt 1-(1-p)*(1-p) ist?
Ist es nicht einfach nur 1-(1-p)???
Und warum erhöt sich die Sicherheit um p-p², wenn doch die die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer Alarm gibt 2p-p² ist???
Wäre echt nett, wenn du mir das erklären könntest!!!
Gruß Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 08:46: |
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Kann mir denn niemand mit meinem Problem helfen? Bitte erbarme sich jemand!!!
Gruß Flo |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 19:24: |
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Ein Feuermelder meldet mit der Wahrscheinlichkeit p ein Feuer. Die Wahrscheinlichkeit,daß er ein Feuer nicht meldet ist also 1-p. Da das unabhängig für beide Feuermelder gilt, ist die Wahrscheinlichkeit, daß beide nicht anschlagen (1-p)(1-p).
Deshalb ist die Wahrscheinlichkeit,daß ein Feuer von mindestens einem der beiden gemeldet wird 1-(1-p)².
Die Wahrscheinlichkeit einer Meldung bei einem Feuermelder ist p, bei zwei 1-(1-p)²=2p-p². Die Sicherheit erhöht sich also um (2p-p²)-p=p-p² |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 22. September, 2001 - 22:44: |
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OK, vielen Dank Ingo! Hab es jetzt endlich geschnallt!!!
Gruß Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 00:16: |
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Eine kleine Frage hab ich doch noch: dass sich die Sicherheit um p-p² erhöht, ergibt sich das daraus, dass mann rechnet 2p-p²-p??? Und mit -p ist dann die Sichherheit, die man mit einem Feuermelder hatte???
Weiterhin soll man nun berechnen: um wieviel Prozent sich die Sicherheit im Vergleich zur ursprünglichen Lösung mit einem Melder maximal erhöht werden kann, wenn man drei dieser Feuermelder nebeneinander hängt und eine Schaltung installiert, so dass der Alarm erst ausgelöst wird, wenn zwei der drei Melder Gefahr zeigen.
Wieviel Prozent beträgt die Steigerung, wenn p>9 ist?
Ich habe nun folgendermaßen gerechnet:
Y: zwei Melder funktioniern
P(Y)=2p-p²
Z: Alle drei Melder funktionieren
P(Z)=(2p-p²)*(1-p)=2p+p³
=> Die Sicherheit erhöht sich maximal um p+p³ (=2p+p³-p)
Für p>9:
2p+p³=1,8+0,729=2,529
Aber dieses letzte Ergebniss irritiert mich, denn es gibt ja keine Wahrscheinlichkeit über 100%!!!
Kann mir bitte jemand sagen, was ich da schon wieder falsch gemacht habe???
Das wäre echt supernett!!!
Gruß Flo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 14:31: |
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Hallo Flo, hatte vergessen mein Passwort anzugeben, habe daher keine Meldung über deine Rückfrage erhalten.
Zur ersten Frage: genau.
Zu deiner neuen Frage: so geht's leider nicht.
M1, M2 und M3 seien die drei Melder.
Alarm wird ausgelöst, wenn (M1 und M2 und nicht M3) oder (M1 und M3 und nicht M2) oder (M2 und M3 und nicht M1) oder (M1 und M2 und M3) Alarm melden.
Die W'keit hierfür beträgt:
p*p*(1-p) + p*p*(1-p) + p*p*(1-p) + p*p*p
= 3p² - 2p³
Die W'keit des Alarms erhöht sich also von p auf 3p² - 2p³. Die Differenz ist
3p² - 2p³ - p
= p * (3p - 2p² - 1)
Der Steigerungsfaktor ist somit
S = 3p - 2p² -1.
Für 0,9 < p < 1 ist 0% < S < 3*0,9 - 2*0,9² - 1 = 8%
Je größer p, also je besser die verwendeten Feuermelder, desto geringer fällt die zusätzliche Sicherheit aus.
Dafür sinkt die W'keit eines Fehlalarms. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 16:13: |
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Hallo Zaph!
Erst mal vielen Dank für deine Hilfe, aber etwas ist mir da noch unklar:
Und zwar, dass sich die Wahrscheinlichkeit um 3p-2p²-1 erhöht, denn bei der ersten Frage war das ja auch gefragt und da hast du dann gerechnet:
2p-p²-p = p-p²
und das war dann der Steigerungsfaktor, dann müsster er doch bei der zweiten Frage sein:
3p²-2³-p
Oder warum kann man da einfach das p ausklammern und dann sagen wenn p*(3p-2p²-1) rauskommt, dass diese Klammer dann der Steigerungsfaktor ist?
Was ich auch nicht ganz verstehe ist, wie du das gemacht hast für p>9. Bei der ersten Frage hast du das dann einfach in die "Gleichung" für die Wahrscheinlichkeit, das beide funktionieren eingesetzt. Hier hast du es aber in den Steigerungsfaktor eingesetzt.
Müsste man dann nicht rechnen:
3*0,81-2*0,729=0,972???
Vielen, vielen Dank noch mal!!!
Gruß Flo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 17:19: |
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Du hast recht, es ging etwas durcheinander. Also:
1. Aufgabe:
Steigerung von p auf 2p - p². Das ist ein Zuwachs von absolut p - p². Die relative Steigerung ist 1 - p, da p(1 - P) = p - p². Für p = 0,9 ergibt sich p - p² = 0,09 = 9% und 1 - p = 0,1 = 10% (s.o.). Die Wahrscheinlichkeit, dass bei Feuer Alarm ausgelöst wird, wächst also um 10 Prozent bzw. um 9 Prozentpunkte.
2. Aufgabe:
Steigerung von p auf 3p² - 2p³. Das ist ein Zuwachs von absolut 3p² - 2p³ - p. Die relative Steigerung ist 3p - 2p² - 1. Für p = 0,9 ergibt sich hier 3p² - 2p³ - p = 0,072 = 7,2% und 3p - 2p² - 1 = 0,08 = 8%. Der Zuwachs beträgt also 8 Prozent bzw. 7,2 Prozentpunkte.
Wenn p > 0,9, dann ist bei beiden Aufgaben die absolute und relative Steigerung geringer. Wenn p=1, dann ist die Steigerung 0. (Besser als 1 geht ja auch nicht!)
Jetzt klar? |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 17:58: |
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OK, also mal sehn, ob ich das verstanden hab:
1.Aufgabe:
Mit der Installation eines zweiten Melder wächst die Sicherheit von p auf 2p-p², also p+p-2p². Und sie wächst um 1-p, also praktisch (2p-p²)/p. Richtig?? Wenn p>9, dann erhöht sie sich auf 0,99 und um 0,1. Ja?
2.Aufgabe:
Die Sicherheit erhöht sich auf 3p²-2p³, also
p-3p²+2p³, und sie erhöht sich um 1-3p+2p². Richtig?
Für p>9 Die Sicherheit wächst auf p+0,072 und um 0,8. Hab ich das nun richtig verstanden???
Gruß Flo
Die Sicherheit erhöht sich auf 3p²-2p³ |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 18:27: |
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1. Aufgabe:
Nein, wieso p + p - 2p² ???
Wenn p = 0,9 (nicht "9"!), erhöht sich die Sicherheit auf 0,99. Sie erhöht sich dann relativ um 0,1 und absolut um 0,09.
Wenn p > 0,9, kannst du nur die Formel und keinen festen Wert angeben. Bestenfalls kannst du sagen, dass sich die Sicherheit um nicht mehr als relativ 0,1 bzw. absolut 0,09 erhöht.
2. Aufgabe:
Statt p - 3p² + 2p³ muss es richtig heißen - p + 3p² - 2p³ (Vorzeichen!).
Hier auch wieder p = 0,9. Die Sicherheit wächst relativ nicht um 0,8, sondern um 0,08. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 18:31: |
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Nun gibt es da noch eine dritte Aufgabe, bei der ich gar nicht weiß, wie ich überhaupt anfangen soll:
Ein Feuermelder dieser Art zeigt durchschnittlich in 1 von 10 Fällen einen Fehlalarm an. Um wieviel Prozent wird die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm durch die Maßnahme in der zweiten Aufgabe gemindert???
Kann es sein, dass ich dann rechnen muß:
(1/10)³=0,001
Das würde dann heißen die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm in Aufgabe 2 wird auf 0,001 gesenkt???
Aber um wieviel Prozent wird sie dann gesenkt???
Gruß Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 18:40: |
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Sorry, da hab ich mich verschrieben mit 0,08!
Ja, aber ist es denn nicht dasselben wenn ich schreibe p-3p²+2p³??
Denn
3p²-2p³-p |*(-1)
<=>-3p²+2p³+p
Oder etwa nicht????
Gruß Flo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 18:45: |
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Es handelt sich hierbei um eine *Formel*, nicht um eine *Gleichung*! Eine Formel darf nicht einfach mit -1 multipliziert werden!! Das eine ist doch positiv und das andere negativ. Kennst du den Unterschied zwischen 1000 DM Guthaben und 1000 DM Schulden? |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 19:06: |
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Zu Frage 3:
Ziemlich unklar formuliert die Aufgabe. Was soll denn "ein Fall" sein?
Sinnvoller z. B. folgende Formulierung:
Die W'keit, dass ein Melder innerhalb eines Jahres einen Fehlalarm produziert, beträgt p = 0,1. Berechne, um wieviel die W'keit eines Fehlalarms durch die Maßnahme aus Aufg. 2 gemindert werden kann.
Du hast jetzt berechnet, wie groß die W'keit ist, dass alle drei Melder gleichzeitig einen Fehlalarm haben. Aber zum Alarm kommt es ja bereits, wenn zwei Melder Alarm anzeigen.
Es gilt dieselbe Formel wie oben. Die W'keit für Fehlalarm ist 3p² - 2p³.
Die Differenz aus p und 3p² - 2p³ beträgt p - 3p² + 2p³. (Diesmal ist das Vorzeichen andersrum, da p der größere Wert ist.) Für p = 0,1 ist dies 0,072.
Die W'keit verringert sich also um 7,2 Prozentpunkte oder um 0,072/0,1 = 72 Prozent des ursprünglichen Wertes. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 20:49: |
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Vermutlich ist mit einem Fall ein Alarm gemeint, der gemeldet wird.
Aber oben war doch 3p²-2p³ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Alarm ausgelöst wird?!
Muss ich dann nicht die Gegenwahrscheinlichkeit nehmen?
Oder nehm ich diese FORMEL dann, weil ich für p die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarm einsetze?
Gruß Flo |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. September, 2001 - 21:04: |
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Das mit dem "Fall" überleg noch einmal...
Genau: 3p² - 2p³ ist die W'keit, dass (echter oder fehlerhafter) Alarm ausgelöst wird. In der zweiten Aufgabe ist dabei p > 0,9, und in der dritten Aufg. p = 0,1.
Mit Gegenw'keit hat das hier nichts zu tun. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 15:27: |
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Aber so ganz klar ist mir das immer noch nicht, denn die 0,9 in der 2. Aufgabe, die beudeuten ja, dass sie in 90% aller Fälle funktionieren und in der dritten Aufgabe heißt es ja, dass 10% aller Fälle Fehlalarme sind und nicht, dass sie in 10% aller Fälle funktionieren oder??
gruß Flo |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. September, 2001 - 17:16: |
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Es gibt zwei Fälle:
Feuer oder nicht Feuer.
1. Fall (Feuer): In 90% der Fälle gibt ein Melder Alarm.
2. Fall (kein Feuer): In 10% der Fälle (was auch immer hier ein "Fall" sein soll, s.o.) gibt ein Melder (Fehl-) Alarm.
Du kannst hier nicht sagen, dass 10% aller Meldungen Fehlalarme sind. Wenn es niemals Feuer gäbe (z.B. weil man den Melder auf dem Boden eines mit Wasser gefüllten Swimmingpools installiert), würde es dementsprechend auch niemals einen Fehlalarm geben. Wäre zwar ganz nett, aber wohl ziemlich realitätsfremd.
Wenn die Aufgabe trotz alledem idiotischerweise so gemeint wäre, müsste man zur Berechnung der W'keit eines Fehlalarms wissen, wie wahrscheinlich ein Feuer ist. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 07:33: |
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Hallo!
Habe nchmal eine Frage zu dieser Aufgabe. Und zwar soll ich sie jetzt mit Hilfe von Analysis rechnen!
Stimmt das dann so für die 1.Aufgabe:
Sicherheit eines Melders: p
Sicherheit von 2 Meldern: p*(1-p)+(1-p)*p
= p-p²+p-p²
= 2p-2p²
=> f(x)=2p-2p²
f'(x)=2-4p
f''(x)= -4
Dann wäre der Extremwert in diesem Fall ja be ein Tiefpunkt oder? Und das muss doch ein Hochpunkt sein?!
Wäre echt supersuperlieb, wenn mir nochmal jemand helfen könnte!!!
Vielen Dank im Voraus!
Gruß Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 09:26: |
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Hi Flo!
Wenn die erste Ableitung Null ist
und die ZWEITE ABLEITUNG NEGATIV ist,
dann handelt es sich dabei um einen HOCHPUNKT,
wenn die erste Ableitung Null ist
und die ZWEITE ABLEITUNG POSITIV ist,
dann handelt es sich dabei um einen TIEFPUNKT,
Hilft Dir das weiter?
Ciao
Cosine |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 16:10: |
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Danke Cosine!!!
Also, bei mir ist die zweite Ableitung negativ, wäre also ein Hochpunkt, aber die erste Ableitung ist nicht 0, die erste Ableitung ist f'(x)=2-4p
Oder stimmt das nicht? Normal aber schon oder???
Gruß Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 17:52: |
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Hi Flo!
Deine erste Ableitung
f'(p) = 2-4p
ist korrekt. Und sie ist nicht überall Null, sondern nur an einer Stelle.
Wenn man also eine Extremstelle berechnen will, dann überprüft man zuerst, WO die erste Ableitung Null wird, in diesem Fall wäre das die Frage:
Wann wird 2-4p = 0 ?
Diese Gleichung kann man umformen zu:
2=4p
1/2=p
Also wissen wir: Wenn p=1/2, dann ist die erste Ableitung 0.
Es gibt also nur einen möglichen Kandidaten für einen Extrempunkt.
Um zu zeigen, dass p=1/2 wirklich eine Extremstelle ist, setzt man diese Zahl 1/2 nun in die zweite Ableitung ein:
f''(1/2) = -4 = NEGATIV
Also haben wir gezeigt, dass f bei p=1/2 einen Hochpunkt hat.
Ich hoffe, ich konnte irgendwie helfen.
Ciao
Cosine |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 21:03: |
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OK, danke dir Cosine!!! Jetzt ist mir das wieder klar!!!
und f(x)= 2p-p² stimmt ja oder???
Gruß Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 06. Oktober, 2001 - 22:21: |
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Hi Flo!
Ich gebe zu, dass ich einen großen Fehler gemacht habe:
Ich habe auf Deine Frage vom 1. Oktober, 2001 geantwortet, ohne mir den Rest oben drüber anzuschauen. (sowas sollte man nicht tun...)
Also:
Alles, was ich gesagt habe, ist korrekt, wenn es darum geht, die Funktion
f(p)=2p-2p²
auf Extremwerte zu untersuchen.
Ob die Funktion f(p)=2p-2p² richtig ist, darüber habe ich mir keine Gedanken gemacht. Leider.
Also: Zaph hat doch weiter oben gesagt:
"Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Melder Alarm gibt, gleich 2p - p² "
Wieso kommst Du denn in Deiner Frage vom 1.Oktober auf 2p-2p² ???
Deshalb nochmal der Reihe nach:
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Melder Alarm gibt, beträgt p.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Melder keinen Alarm gibt, beträgt 1-p
Die Wahrscheinlichkeit, dass beide Melder keinen Alarm geben, beträgt demnach (1-p)*(1-p)=(1-p)²
Daraus folgt die Gegenwahrscheinlichkeit, dass mindestens einer funktioniert mit
1-(1-p)²= 2p -p²
Die Wahrscheinlichkeit erhöht sich also um
2p-p² - p = p-p²
Da gefragt wurde, um wieviel sich maximal die Wahrscheinlichkeit steigern lässt, würde ich nun sagen, dass es eben diese
p-p²
sind, die maximiert werden muss, also setzen wir
f(p)=p-p²
Die erste Ableitung ist demnach dann
f'(p)=1-2p
und die zweite ist
f''(p)=-2
Du siehst also, das ist nicht die Funktion, die Du angegeben hast und mit der ich gerechnet habe, aber netterweise kommt trotzdem der selbe p-Wert heraus, nämlich p=1/2
Die maximal mögliche Steigerung der Wahrscheinlichkeit in Aufgabe 1 wäre demnach
f(1/2) = (1/2)-(1/2)² = 1/4 =25%
Das würde ich jetzt also deuten, dass wenn die Wahrscheinlichkeit, dass ein Melder funktioniert, bei 1/2 (=50%) liegt, dann haben wir die maximale Steigerung, nämlich eine Steigerung um 1/4 (=25%)
Bei jedem anderen möglichen Wert für p erhalten wir demnach eine Steigerung von weniger als 25%.
Ich hoffe, das stimmt jetzt so.
Ciao
Cosine |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 13:09: |
|
Hy Cosine!!!
Erst mal vielen Dank für deine Hilfe!!!
Also eigentlich hatt ich den Lösungsweg von Zaph ja auch kapiert, aber als ich dann meinen Lehrer fragte, meinte er, ich solle das mit Analysis rechnen und zu der Sicherheit der Melder meinte er, dass ja die Wahrscheinlichkeit, dass der erste geht und der zweite nicht p*(1-p) und du Wahscheinlichkeit, dass der erste nicht geht, aber der zweite dann (1-p)*p ist und das müsse man dann addieren.
So kam ich auf
p*(1-p)+(1-p)*p
=p-p²+p-p²
=2p-2p²
Aber auf dieses Ergebnis bist du ja auch gekommen, nur auf einem anderen Weg.
Und wenn dann gefragt ist, UM wieviel Prozent sich die Sicherheit maximal gesteigert werden kann, dann muss ich die Differenz berechnen. Hab ich das jetzt so richtig verstanden??
Gruß Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 07. Oktober, 2001 - 17:45: |
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Hi Flo!
Du hast es fast verstanden, würde ich sagen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Melder funktioniert, ist p.
Bei zwei Meldern gibt es nun theoretisch 4 Fälle:
Fall I) Melder1 funktioniert und Melder2 funktioniert
Fall II) Melder1 geht nicht aber Melder2 funktioniert
Fall III) Melder1 funktioniert aber Melder2 geht nicht
Fall IV) Melder1 geht nicht und Melder2 geht auch nicht
Diese vier Fälle kann man sich sehr schön in einem Baumdiagramm aufmalen oder sonstwie.
Wie dem auch sei, jeder von diesen 4 Fällen hat nun seine eigene Wahrscheinlichkeit:
P( Fall I ) = p * p
P( Fall II ) = (1-p) * p
P( Fall III ) = p * (1-p)
P( Fall IV ) = (1-p) * (1-p)
Nun gibt es zwei leicht unterschiedliche Rechenwege, um zur gesuchten Wahrscheinlichkeit zu kommen:
1. Weg:
Man überlegt sich, dass es ja ausreicht, wenn mindestens ein Feuermelder funktioniert, d.h. man addiert P( Fall I ) + P( Fall II ) + P( Fall III), da in jedem dieser Fälle mindestens ein Feuermelder funktioniert.
Wenn Du das machst, und den Term richtig zusammenfasst, kommst Du auf:
2p-p² (Rechne mal nach!)
2. Weg (den Weg, den Zaph in seinem ersten Beitrag gerechnet hat):
Man überlegt sich, dass jeder Fall bis auf Fall IV erwünscht ist. Und berechnet dann die Gegenwahrscheinlichkeit von Fall IV:
Das wäre also 1 - P( Fall IV )
Das gibt natürlich ebenso 2p-p² denn zwei unterschiedliche Wege können nicht zu unterschiedlichen Ergebnissen führen.
Also: Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Melder Alarm schlägt, ist in jedem Fall:
2p-p²
Der Ausdruck "2p-2p²" ist also in jedem Fall FALSCH!!!
Wenn Du einfach p(1-p) und (1-p)p addierst, dann hast Du sozusagen P( Fall II ) und P( Fall III) addiert und einfach den Fall I vergessen.
Anders ausgedrückt: (2p-2p²) wäre die Wahrscheinlichkeit, dass NUR GENAU EINER (UND NICHT BEIDE!) funktioniert. Das macht aber in der Praxis keinen Sinn, denn würde bedeuten, dass nur Alarm gegeben wird, wenn NUR EIN MELDER Alarm gibt und dass KEIN ALARM gegeben würde, wenn BEIDE Melder GLEICHZEITIG funktionieren würde...
Zusammenfassung:
Die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Melder Alarm gibt, ist also auf jeden Fall (2p-p²).
Und wenn gefragt ist, um wieviel Prozent sich die Sicherheit erhöht, dann berechnest Du die Differenz, also (2p-p² - p = p-p²)
Und diese Funktion f(p)=p-p² muss dann mit den Mitteln der Analysis maximiert werden.
Alle Klarheiten beseitigt?
Ciao
Cosine |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 08. Oktober, 2001 - 15:50: |
|
OK, alle Klarheiten beseitigt!!! ;-)
Nein, im Ernst, ich glaub ich hab ihn da wirklich falsch verstanden, denn so kann das nicht sein, so wie ihr das erklärt habt ist das logischer und ich denk auch richtig.
Wie berechne ich denn nun um wievel Prozent sich die Sicherheit erhöht, wenn p größer ist als 0,9?
Rechne ich dann so:
f'(0,91)=1-1,82=-0,82
f(-0,82)=-0,82-0,6724=-1,492 ???
Das kann doch nicht sein!!! Wo muss ich denn die 0,9, bzw 0,91 einsetzen???
Wäre echt supi, wenn du mir das sagen könntest!!!
Gruß Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. Oktober, 2001 - 20:28: |
|
Hi Flo!
Tschuldigung, dass ich erst jetzt antworte, aber ich hab am Montag sozusagen mit Studieren angefangen und bin seit dem nicht dazu gekommen, Deine Frage zu beantworten.
Die Funktion, die angibt, um wieviel die Wahrscheinlichkeit ansteigt, ist
f(p)=p-p²
wobei p für eine Wahrscheinlichkeit steht und von daher zwischen 0 und 1 liegen muss, die Definitionsmenge ist also D=[0 ; 1] .
Wenn Du nun die Frage
"Um wieviel Prozent erhäht sich die Sicherheit, wenn p größer ist als 0,9? "
beantworten willst, dann betrachte einfach nur die p-Werte zwischen 0,9 und 1.
Wenn Du also den Wert von 0,91 wissen willst, dann setze einfach 0,91 in die Funktion ein.
Und mit Funktion meine ich f, denn nur f gibt Dir einen Funktionswert an.
f' ist die Ableitungsfunktion, d.h. f' gibt Dir keinen Funktionswert, sondern die Steigung der Funktion an.
In Deiner Rechnung (0,91 in die Ableitung einsetzen und dann diese Steigung als x-Wert verwenden) sehe ich absolut keinen Sinn. (sorry für diese harte Ausdrucksweise...).
Wenn also p=0,91 , dann ist
f(p)=f(0,91)=(0,91)-(0,91)² = 0,081
Wenn p größer als 0,91 ist, dann ist f(p) kleiner als f(0,91), weil es sich bei der Funktion p-p² um eine Parabel handelt, die bei p=1/2 ihren absoluten Hochpunkt hat, und von daher für p>1/2 monoton fällt.
Ich weiß nicht, ob ich Dir mit dieser Antwort jetzt irgendwie geholfen habe... Wenn nicht, frag nochmal nach! (ich versuche dann wieder, schneller zu antworten...)
Ciao
Cosine |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 10:06: |
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Hy Cosine!!!
Also ich schreib dir jetzt einfach mal, was ich bis jetzt habe, allerdings bin ich noch nicht ganz fertig!
zur ersten Aufgabe:
Ich hab die Ableitungen gemacht, da f''(p)=-2, ist es ein Hochpunkt. Für f'(p)=0 bekomm ich p=1/2, also Hochpunkt bei 1/2, was recht oder links davon liegt, dafür wird die Steigerung der Sicherheit immer geringer. Ist ja auch irgendwi logisch, denn wenn die Melder schon von sich aus nicht sehr sicher sind (p<1/2), dann wird die Sache auch durch 2 Melder nicht sicherer. Und wenn die Melder schon relativ sicher sind (p>1/2) dann können sie durch zwei auch nicht mehr viel sicherer werden.
p=1/2 hab ich dann in f(p) eingesetzt und bekomme dann eine maximale Steigerung um 25% heraus.
Die 0,9 setzt ich dann in f(p) und bekomme dann heraus, dass sich die Sicherheit um weniger als 9% erhöht, für p>0,9. (Sieht man ja auch schön, wenn man die Parabel zeichnet.
zur zweiten:
f(p)=2p³ + 3p² - p
f'(p)= -6p² + 6p - 1
f''(p)=-12p + 6
Extrema: f'(p)=0
p1= 1/2 + 1/12 * (Wurzel 12)
p2= 1/2 - 1/12 * (Wurzel 12)
dann zur kontrolle in f''(p)
f''(1/2 - 1/12 * (Wurzel 12))
= -(Wurzel 12)
Muss ich p2 dann noch in f(p) einsetzten, damit ich erfahre, um wieviel die Sicherheit gesteigert wird oder???
Und dann setz ich die 0,9 wieder in f(p) ein und erhalte dann f(0,9)=0,072
Also Erhöhung der Sicherheit um weniger als 7,2%
Hab ich das bis hierhin richtig???
Nun gibt es noch eine dritte Aufgabe:
Ein Feuermelder dieser Art zeigt durchschnittlich in einem von 10 Fälle Gefahr an, obwohl gar keine besteht (Fehlalarm).
Um wieviel Prozent wird die Wahrscheinlichkeit für einen Fehlalarmdurch die in 2 beschriebene Maßnahme gemindert???
Muss ich dann 0,1 in f(p) einsetzten oder was muss ich mache???
Wäre echt ganz super, wenn du mir nochmal helfen könntest!!!
Gruss Flo |
Cosine (Cosine)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 19:28: |
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Hi Flo!
Erste Aufgabe: Ja, ich würde sagen, das hast Du nun absolut richtig verstanden!!!
Zweite Aufgabe: Ja, auch da würde ich Dir absolut zustimmen: Es gibt zwei Werte (p1 und p2), die als Extremwerte in Frage kommen.
Du hast p2 in f'' eingesetzt und etwas negatives herausbekommen, das bedeutet, dass f'' in p2 einen Hochpunkt hat.
Du musst aber der Vollständigkeit halber auch noch p1 ausprobieren. Dann wirst Du feststellen, dass es sich bei p1 um einen Tiefpunkt handelt.
Der Maximalwert ist also f(p2) = 0,072, demnach geht es ab p2 wieder abwärts, bis sich bei p=1 wieder 0 ergeben muss (denn p=1 lässt sich nicht weiter steigern).
Da 0,9 größer als p2 ist, und damit auf dem sinkenden Teil der Funktion liegt, kann man mit p=0,9 wieder genauso verfahren wie in Aufgabe 1.
Also Erhöhung der Sicherheit um weniger als 7,2% wenn p>0,9 . Stimmt!
Zur Aufgabe 3 kann ich mich jetzt leider nicht äußern, weil ich mich dazu noch mal ganz genau mit der ganzen Problematik auseinandersetzen müsste, wozu mir im Moment die Zeit fehlt...
Ich kann ja mal schauen, was mir dazu einfällt.
Oder falls sich sonst noch jemand zu dem Thema äußern will, kann er/sie das auch gerne tun!
Ciao
Cosine |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 19:42: |
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OK, danke Cosine!!! Ist ja auch schon mal super eine Besätigung zu haben, dass zwei Aufgaben schon mal stimmen.
Bin mir sicher da ist noch jemand ganz nettes, da draußen im großen www, der mir sagen kann, wie diese dritte Aufgabe geht, und der heute noh eine gute Tat vollbringen will?!?!!?
BITTE, BITTE!!!
Gruß Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 11. Oktober, 2001 - 20:46: |
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Hy Cosine!!
Hier nochmal ich!!! Bei mir ist da eben ein kleines Problem aufgetaucht und zwar: wenn ich p2 nicht runde, sonder so in f'' einsetzte, dann ist das Ergebnis negativ. Wenn ich aber die gerundeten Werte in f'' einsetzte, dann ist das Ergebnis positiv und das von p1 negativ!!! Was mach ich denn in so einem Fall???
Gruß Flo |
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