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Sandy
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 19:07: | 
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Berechne den Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f über dem Intervall (0;2) (über dem Intervall 0;b ) als Grenzwert von Ober- und Untersummen Sn (Untersumme) und Sn (Obersumme).Verwende dabei die Summenformeln 1. 1²+2²+3²+....+m²=1/6m*(m+1)*(2m+1) 2.1+2+3+...+m=1/2m*(m+1)
3.1³+2³+3³+.....+m³=1/4m²(m+1)²
Was ergibt sich als Flächeninhalt über einem Intervall (a;b) ?
a) f(x)=x³ |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 10:42: |
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U¥=
lim Sm-1 i=0b/m*(i*b/m)3-
m®¥
lim Sm-1 i=0b/m(i*b/m)3=
m®¥
lim b/m4*Sm-1 i=0(i)3-
m®¥
lim a/m4*Sm-1 i=0(i)3=
m®¥
lim b/m4*1/4*(m-1)2*m2-
m®¥
lim a/m4*1/4*(m-1)2*m2=
m®¥
1/4*
(b4*lim((m-1)2*m2)/m4-
----m®¥
a4*lim((m-1)2*m2)/m4)=
---m®¥
1/4*(b4-a4)
da lim((m-1)2*m2)/m4=1
---m®¥
Obersumme geht ähnlich, nur dass sich die Summe von i=1 bis m erstreckt; letztendlich erhält man einen etwas abweichenden Grenzwert, der aber ebenfalls gegen 1 strebt:
lim(m2*(m+1)2)/m4=1
m®¥
Damit gilt (wenn b³a³0) F=1/4*(b4-a4)
Speziell für das Intervall [0;2]: F20=1/4*(24-04)=4 |
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