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chiara (Chiara18)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. September, 2001 - 08:25: | 
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Hallo zusammen,
bei diesen 2 Textaufgaben komme ich einfach nicht weiter:
1)Aus einem 120cm langen Draht soll das Kantenmodell eines Quaders hergestellt werden, bei dem eine Kante dreimal so lang wie die andere der Rauminhalt möglichst groß ist.
Also so weit bin ich gekommen:
120cm= 4*3a +4a +4b
und das Volumen ist V= 3a^2*b oder?
Jedenfalls wusste ich nicht wie man die zweite Variable durch eine andere ausdrücken sollte/ ersetzen soll.
dann zur 2. Aufg.:
Welche quadratische Säulemit der Oberfläche 150dm^2 hat den größten Rauminhalt? Wie groß ist dieser?
O ist dann = 2*a^2+ 4*ab .
Konnte ich jedenfalls leider auch nicht lösen.
Ich hoffe ihr könnte mir weiterhelfen.
DANKE im Voraus:
P.S.: hab die frage schonmal gestellt aber die Antwort konnte mir nicht weiterhelfen, wäre nett wenn ihr mir das vorrechnen könntet.
Chiara
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Lerny
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. September, 2001 - 09:20: |
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Hallo Chiara
1) Kantenmodell eines Quaders
Summe der Kantenlängen allgemein: S=4a+4b+4c
Eine Kante 3 mal so lang wie eine andere: c=3a
=> S=4a+4b+4*3a=4a+4b+12a=16a+4b=120
=> 4b=120-16a|:4
=> b=30-4a (Nebenbedingung)
V=a*b*c (wegen c=3a folgt
V=a*b*3a=3a²*b (nun die Nebenbedingung einsetzen)
V(a)=3a²*(30-4a)
V(a)=90a²-12a³
V'(a)=180a-36a²=0
36a(5-a)=0
=> a=0 oder a=5 cm
Mit zweiter Ableitung auf Max und Min prüfen
V"(a)=180-72a
V"(5)=180-360=-180<0=>Max
a=5 in Nebenbedingung einsetzen, ergibt b=30-4*5=30-20=10 cm
Wegen c=3a gilt weiter: c=3*5=15 cm
Probe: 4a+4b+4c=120
4*5+4*10+4*15=20+40+60=120 stimmt
Damit hat der Quader die Kantenlängen a=5 cm, b=10 cm und c=15 cm.
2)Oberfläche quadratische Säule: O=2a²+4ab=150dm²
=>4ab=150-2a²
=>b=(150-2a²)/4a=(75-a²)/2a (Nebenbedingung)
V=a²*b
Nebenbedingung einsetzen: V(a)=a²*(75-a²)/2a
V(a)=a(75-a²)/2
V(a)=(75/2)a-a³/2
V'(a)=(75/2)-(3/2)a²=0
<=> (3/2)a²=75/2
<=> 3a²=75
<=> a²=25
=> a=5 oder a=-5 (a=-5 kann nicht sein, da a eine Länge)
Mit 2. Ableitung auf Max und Min prüfen
V"(a)=-3a
V"(5)=-3*5=-15<0 => Max
a=5 in Nebenbedingung einsetzen und b ausrechnen:
b=(75-a²)/2a=(75-25)/10=50/10=5
Damit sind alle Kanten der Säule 5 dm lang.
Die Säule ist somit ein Würfel.
Das Volumen des Würfels beträgt: V=a³=125dm³
mfg Lerny |
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