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Furby
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 17:57: | 
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Die Ortsvektoren a, b, c der Punkte A, B, C seien linear unabhängig. Welche Bedingung muss für die Parameterwerte r, s, t erfüllt sein, damit der Punkt mit dem Ortsvektor ra+sb+tc auf der Ebene (ABC) liegt?
Vielen Dank für die Lösung. |
Reinhard Gruber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 21:24: |
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Hallo Furby
Stelle erst mal eine Gleichung für die Ebene ABC auf. Am besten eignet sich da die Parameterdarstellung. der Vector AB ergibt sich übrigens einfach aus b-a. Als Parameter nehme ich n und m
X = a + n(a-b) + m(a-c)
A ist also der Punkt und die zwei Richtungsvektoren der Ebene sind AB und AC. multipliziere das ganze aus und versuche, das ganze auf die Form ra+sb+tc zu bringen.
X = a + na - nb + ma - mc
X = a(1 + n + m) + b(-n) + c(-m)
Die Frage war, für was für r,s und t gelten muß, damit ar + bs + ct in der Ebene liegen. wir haben aber schon eine Formel von so ähnlicher Form für alle Punkte der Ebene ABC. Also gleichsetzen.
a(1 + n + m) + b(-n) + c(-m) = ar + bs + ct
Das ganze kann aber nur gleich sein, wenn die zahlen neben den Vektoren a,b und c gleich sind (Definition von linear unabhängig). Daraus folgt
1+n+m=r
-n=s
-m=t
Setze die underen zwei Gleiungen in die obere ein und du erhälst:
1-s-t=r
1=r+s+t
Und genau das ist die Beningung, die gefragt war. Die Summe der drei Parameter muß 1 ergeben, damit ra+sb+tc in der Ebene liegt.
Reinhard |
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