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Beitrag |
    
vlh
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 16:33: | 
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Welche Kugel durch die Punkte A(0/0/0), B(6/0/0),
C(0/6/0) berührt die Gerade durch P(0/0/10) und Q(5/0/15) ?
(Anleitung: Begründe zuerst, dass der gesuchte Kugelmittelpunkt M(3/3/m3) lautet. Welche Beziehung besteht zwischen m3 und dem Kugelradius? Es gibt zwei Lösungen.)
Bitte helft mir beim Lösen dieser Aufgabe! Ich komme dort einfach nicht weiter!
Viele Grüße, Viola |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 20:59: |
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Hi Viola,
Wenn eine Kugel durch die gegebenen Punkte A ,B ,C gehen soll,
so liegt ihr Mittelpunkt M auf der zur Ebene E der drei Punkte
senkrechten Geraden m durch den Umkreismittelpunkt U
des Dreiecks ABC.
Im vorliegenden Fall fällt die Ebene E mit der (x,y)-Ebene zusammen.
Das Dreieck ist bei A rechtwinklig und der Umkreismittelpunkt
ist der Punkt U(3/3/0).
Die Gerade m ist die Parallele durch U zur z-Achse, sodass der
Mittelpunkt M die Koordinaten xM = 3 , y M = 3, zM = h mit
h als Parameter hat (wir schreiben somit h statt zM ).
Der Radius r der Kugel stimmt mit der Länge der Strecke MA überein;
also gilt
r ^ 2 = MA ^ 2 = 3 ^ 2 + 3 ^ 2 + h ^ 2 = 18 + h ^ 2.
Die Gleichung der Kugel lautet im Ansatz:
( x - 3 ) ^ 2 + (y - 3 ) ^ 2 + ( z - h ) ^ 2 = r ^ 2 oder:
x^2 + y^2 + z^2 - 6x - 6y - 2 * h * z = 0.
Für die gegebene Gerade g durch die Punkte P,Q erhalten wir die
Parametergleichung:
x = 5 * t = s , y = 0 , z = 10 + 5 * t = 10 + s
Wir verwenden den einfachen Parameter s statt t und beachten,
dass die Gerade in der (z,x)-Ebene liegt.
Nun schneiden wir die Kugel mit dieser Geraden und postulieren,
dass die beiden Schnittpunkte zusammenfallen.(Diskriminantenmethode !)
Damit erreichen wir, dass die Kugel die Gerade berührt.
Ausführung
Durch Einsetzen von x , y , z aus der Geradengleichung in die Kugelgleichung entsteht eine quadratische Gleichung für s , nämlich:
2*s^2 + 2*(7-h)* s + 100 - 20 * h = 0
Die Diskriminante dieser Gleichung lautet:
D = 4 * ( 7 - h ) ^ 2 - 8 * ( 100 - 20 *h )
Durch Nullsetzen kommt die quadratische Gleichung für h:
h^2 + 26 * h - 151 = 0 mit den Lösungen
h1 = -13 + 8 * wurzel(5) ~ 4.8885
und
h2 = -13 - 8 * wurzel(5) ~ -30,8885.
Die zugehörigen Radien ergeben sich mit der Beziehung r^2 = 18 + h^2.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 21:45: |
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Hi,
Für Kenner der Materie mag es reizvoll sein, die in der
Darstellenden Geometrie übliche Methode zur Lösung
der vorliegenden Kugelaufgabe in Erinnerung zu rufen.
Man geht darauf aus, den Berührungspunkt der Kugel mit
der Kugeltangente g zu ermitteln.
Zu diesem Zweck bestimmt man den Umkreis c des Dreiecks
ABC und legt vom Durchstosspunkt S der Tangente g mit der
Ebene ABC die Tangente t an den Kreis c; der Berührungspunkt
sei T.
Die Strecke ST wird nun auf g von S aus nach beiden Seiten
abgetragen. ( SB1 = SB2 = ST )
Mit den Endpunkten B1 und B2 erhalten wir die gesuchten
Berührungspunkte von g mit der Kugel.
Die Mittelpunkte M1 , M2 der Kugeln erhalten wir als Schnittpunkte
der Normalebenen zu g durch B1 bezw. B2 mit der Geraden m, der
Senkrechten zur Ebene ABC durch den Umkreismittelpunkt U .
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
vlh
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. September, 2001 - 15:00: |
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Hallo H.R. Moser,
vielen Dank für die schnelle und ausführliche Antwort! Ich werde mir die Lösung in Ruhe ankucken. Kann ich dir gegebenfalls Fragen dazu stellen?
mit freundlichem Gruß,
Viola |
vlh
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. September, 2001 - 08:53: |
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Hallo H.R. Moser,
ich habe soweit alles verstanden, bis auf die Diskrimintantenmethode. Wenn ich in die Formel
-(p/2)² * Wurzel( p/2-q) einsetze komme ich nicht auf die Vorfaktoren 4 und 8. Kannst du mir das vielleicht noch mal erklären?
Vielen Dank,
mit freundlichem Gruß,
Viola |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. September, 2001 - 15:28: |
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Hi Viola,
Hier die gewünschte Erklärung
Du kannst von der (p,q)-Gleichung s ^ 2 + p * s + q = 0
ausgehen,
mit p = ( 7 - h ) , q = 50 - 10 * h .
Die zugehörige Diskriminante schreiben wir in der Form
d = ( p / 2 ) ^ 2 - q = ¼ * (7 - h ) ^ 2 - ( 50 - 10 * h )
Setzt man nun im Sinne der Diskriminantenmethode als Bedingung für
eine Doppellösung d = 0 ,
so erhält man nach sukzessiven Vereinfachungen die erwähnte
quadratische Gleichung in h :
h ^ 2 + 26 * h - 151 = 0
Verwendet man die in meinem zweiten Beitrag erwähnte Methode
der gleichen Tangentenstrecken ST = SB1 = SB2,
so erhält man nach relativ kurzen Berechnungen wunderbarerweise
dasselbe Schlussresultat. !
Auf Wunsch könnte ich diese Version nachliefern
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
vlh
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. September, 2001 - 17:48: |
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Hallo H.R.Moser,
vielen Dank für die prompte Bearbeitung!
Ich werde mir die Diskriminante in Ruhe ansehen.
Bis zum nächsten Problem,
grüßt Viola |
vlh
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 18:24: |
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Hallo H.R.Moser,
ich bin´s schon wieder. Vielen Dank für die Lösung, sie war richtig! Eine Frage nur, ich hab noch nicht verstanden, warum man die Diskriminante null setzen darf. Ist das die Diskriminantenmethode? Wann trifft sie zu?
Kannst du mir das bitte erklären? Meine Literatur gibt darüber keine Auskunft!
Vielen Dank, Viola |
Corine
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 23:28: |
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Hi vlh,
Zur Lösung von quadratischen Gleichungen siehe:
http://medoc.informatik.tu-muenchen.de/Samples/stoeckerfree/daten/part_1/node100.htm |
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