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Beitrag |
    
kay
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 20:05: | 
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Hallo zusammen!
Kann mir jemand bei der folgenden Aufgabe helfen? Evtl. hilft es mir auch schon weiter, wenn ich nur die Gleichung der Geraden, die die beiden Schiffe verbindet, bekomme. Ich danke euch!
Ein Schiff fährt die 10km lange Strecke von A nach C mit einer Geschwindigkeit von 72km/h, ein zweites Schiff fährt zur selben Zeit von C nach B mit einer Geschwindigkeit von 36km/h. Der Anfahrtswinkel der Strecke AC beträgt 45°.
Nach welcher Zeit ist der Abstand zwischen den beiden Schiffen am geringsten und wie groß ist der Abstand. |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 13. September, 2001 - 21:21: |
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Hay Kay,
ich zeichne mir ein Koordinatenkreuz. Den Punkt A lege ich auf (-10,0), den Punkt C auf (0,0).
Der Punkt B liegt auf der Geraden y = -x, (wegen 45°). Damit schließen AC und BC einen Winkel von 45° ein.
Das Schiff 1 von A nach C befindet sich zur Zeit t am Punkt (-10+t*72,0).
Das Schiff 2 von C nach B befindet sich zur Zeit t am Punkt (-36t,36t).
Der Abstand der Schiffe zum Zeitpunkt t beträgt:
d(t) = wurzel[(-10+72t-(-36t))² + (0-36t)²]
= wurzel[(-10 + 108t)² + (36t)²]
= wurzel[ 100 - 2160t + 11664t² + 1296t² ]
= wurzel[ 100 - 2160t + 12960t² ]
Die Ableitung ist
d'(t) = -1/(2*wurzel[100 - 2160t + 12960t²] * ( 25920t - 2160 )
Die Ableitung ist 0 für t = 2160/25920 = 0.08p3 Std. = 5 min.
Der Abstand zur Zeit t=0.08p3 min beträgt
d(0.08p3) = 3.162 km.
Das ist ein lokales Minimum für den Abstand.
t kann Werte >=0 annehmen. Am Rand des Definitionsbereiches (für t=0) beträgt der Abstand
genau 10 km.
Also ist das lokale Minimum auch ein globales Minimum.
Gruß
Matroid |
Kay
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 12:27: |
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Hi Matroid,
erst mal vielen Dank für die Lösung! Ich habe heute das Endergebnis bekommen, das nur leider von deinem etwas abweicht:
t= 345,8
d= 2527,2 m
Kommst du damit vielleicht weiter?
Was ich an deiner Lösung nicht nachvollziehen kann, ist daß du den Punkt für das Schiff 2 zur Zeit t mit (-36t,36t) festgesetzt hast. Mußt du da nicht den 45°-Winkel beachten?
und wieso kannst du beim Aufstellen der Gleichung d(t) von einem rechtwinklign Dreieck ausgehen?
Wäre nett, wenn du noch mal drüber gucken könntest und mir darauf eine Antwort geben kannst.
Dankeschöööön
Kay |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 17:31: |
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Zur Lage der Punkte, wie ich sie verstanden habe:
...in Richtung B......|
..........\...........|
............\.........|
..............\.......|
................\.....|
..................\...|
................45°.\.|
A---------------------C
Den Punkt C habe ich auf (0,0) gelegt. A auf (-10,0) und die Richtung auf B wird durch die Gerade y = -x gehalten.
Die Formel für den Abstand ist die übliche.
Im rechtwinkligen Koordinatensystem ist der Abstand von (a,b) zu (x,y) gleich
wurzel((a-x)²+(b-y)²)
Denn der Abstand ist die Hypotenuse im Dreieck
(a,b) (x,y) (x,b)
Gruß
Matroid |
Lemma5
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 19:23: |
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Hallo Matroid, du hast beim Ansatz "Das Schiff 2 von C nach B befindet sich zur Zeit t am Punkt (-36t,36t)" nicht beachtet, dass die x- und y-Koordinaten nur mit 36/Ö2 t wachsen.
Das beantwortet auch zugleich die Frage von Kay:
"Mußt du da nicht den 45°-Winkel beachten?"
x(t)=-36*t*cos(45°)
y(t)=36*t*sin(45°)
Damit ergibt sich die letzte Zeile von d(t) statt
d(t)= wurzel[ 100 - 2160t + 12960t² ]:
d(t)= wurzel[ (72+36/Ö2)² t² - 2*(72+36/Ö2)*10*t + 100 - 2160t + 100 + 1296/2 * t² ]
und damit aus d'(t)=0 die Forderung
(2*(36/Ö2 + 72)² + 36²)*t - 20*(36Ö2 +72) = 0
=> t=0.096h = 345.8s
Gruß
Lemma5 |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. September, 2001 - 19:32: |
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Hallo Lemma5,
das ist die Auflösung. Danke.
Ich habe also (unabsichtlich) für das zweite Schiff mit der Geschwindigkeit wurzel(2)*36 gerechnet. |
kay
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. September, 2001 - 22:50: |
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super! Ich danke euch beiden, habt mir wirklich weiter geholfen |
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