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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 18:40: | 
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Das Integral
( 3x2-9x-3/x3-3x2+4)dx
ist zu bestimmen.
Nach welcher Methode wird/kann integriert werden.
Wie wende ich diese im Detaille an?
Wer weiß Rat. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 21:12: |
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Hallo Anonym,
ò(3x²-9x-3)/(x³-3x²+4)*dx=òZ/N*dx
Partialbruchzerlegung:
N=0 ergibt x=-1 und x=2 als Doppelwurzel
Man zerlegt das Nennerpolynom in Faktoren:
N=(x+1)(x-2)²
Ansatz:
Z/N=A/(x+1)+B/(x-2)+C/(x-2)²
Dies kann nun integriert werden:
òZ/N=A*ln|x+1|+B*ln|x-2|-C/(x-2)
Wir wollen aber auch die Konstanten ermitteln; daher multiplizieren wir den Ansatz mit N:
Z=A(x-2)²+B(x+1)(x-2+C(x+1)=
=x²(A+B)+x(-4A-B+C)+(4A-2B+C)
Koeffizientenvergleich oder für x (einfache) Werte einsetzen:
A+B=3
-4A-B+C=-9
4A-2B+C=-3
============
Diese 3 Simultangleichungen ergeben:
A=1
B=2
C=-3
============
Unser Integral also:
ln|x+1|+2ln|x-2|+3/(x-2)
=========================
"verschönern":
=ln|x+1|+ln(x-2)²+3/(x-2) etc. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 13:21: |
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Hallo Fern,
was bedeutet x=2 als doppelwurzel.
Wie ich srhe hast du den Nenner zerlegt.
Wie kommst du auf N= ...
Den ansatz verstehe ich auch nicht, wie du auf die drei therme kommst.
Bin ich zu blöd.
Das einzige was ich verstanden hbe, sind die Nullsatellen bei -1 und +2 , wahrscheinlich durch ausprobieren, oder?
Danke. |
Fern
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. Februar, 2000 - 17:39: |
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Bei der Methode der Partialbruchzerlegung geht es immer darum, das Nennerpolynom N(x)in Faktoren zu zerlegen.
Wenn ein Polynom die Wurzeln (=Nullstellen) a,b,c...hat, so sind (x-a), (x-b), (x-c).. solche (Linear-)Faktoren. Falls eine dieser Wurzeln eine Doppelwurzel ist: z.B a=Doppelwurzel, so ist ein Faktor (x-a) und ein zweiter ebenfalls (x-a), also kann man (x-a)² als Faktor schreiben.
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In unserem Fall ist N(x) ein Polynom 3. Grades, also muss es 3 Wurzeln geben.
Polynome 3. Grades lassen sich zwar nach einer Formel lösen, aber diese ist etwas kompliziert und steht, nach meinem Wissen, nicht auf dem Lehrplan der Schule. Deshalb ist bei Schulbeispielen (fast) immer eine "einfache" Nullstelle (wie x=1 oder x=-1) vorhanden. Dies muss man durch Probieren herausfinden. In unserem Fall findet man: x=-1
Wenn man eine Wurzel a kennt, so dividiert man
N(x) durch (x-a):
N(x)=(x³-3x²+4) : (x+1) = x²-4x+4
Es ist also N(x)=(x+1)(x²-4x+4)
Der letzte Faktor lässt sich wiederum zerlegen: man sucht nach der (hoffentlich) bekannten Formel die Nullstellen von x²-4x+4.
Dies ergibt eine Doppelwurzel für x=2.
Also N(x)=(x+1)(x-2)(x-2)=(x+1)(x-2)²
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Den Ansatz macht man nach Schema:
(Ich erwähne hier nur den Fall, dass alle Faktoren Linearfaktoren sind, also von der Form x-a). Es gibt auch quadratische Faktoren von der Form: (x²+mx+n)).
Für jeden einfachen Linearfaktor macht man den Ansatz: A/(x-a)
Für jeden zweifachen Linearfaktor macht man den Ansatz A/(x-a)+B/(x-a)²
(Dies ergibt die 3 Terme)
Unser Fall: 1 einfacher und ein zweifacher Faktor.
Ansatz:
Z(x)/N(x)=A/x+1)+B/(x-2)+C/x-2)²
Nun multipliziert man beide Seiten mit N(x) und kann so die Konstanten A,B,C bestimmen.
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Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 09:12: |
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Hallo Fern,
Kannst du die Formel für die Polynome 3-ten
Grades auch nennen.
gilt sie dann nur für die 3-ten Grades oder auch
z.B. 4-ten Grades |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Februar, 2000 - 13:30: |
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Die Formel zur Lösung von kubischen Gleichungen heißt Cardanosche Formel (manchmal auch: Cardanische Formel).
Ihre Anwendung ist kompliziert, weil man vorher die Gleichung auf eine "reduzierte Form" bringen muss.
Du findest eine Beschreibung bei:
Historisch:
http://www.mathematik.uni-kl.de/~meyer/Cardano/card.html
Mathematisch:
http://www.mathematik-online.de/F24.htm |
Goldfinger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. August, 2000 - 16:54: |
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Und fuer Gleichungen 4. Grades (auch
biquadratische oder quartische Gleichungen
genannt) gibt es ebenfalls Loesungsformeln.
Eine davon stammt von Leonhard Euler, aber
die aelteste und eleganteste ist von Ludovico
Ferrari (der war Italiener wie Enzo Ferrari,
hat aber nichts mit den Sportwagen zu tun!)
Fuer Gleichungen 5. und hoeheren Grades gibt
es keine allgemeinen Loesungsformeln mehr.
Man kann sie aber naeherungsweise loesen.
Das kommt dann in der Oberstufe dran... |
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