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Parameterdarstellung eine Ebene gesuc...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Ebenen » Parameterdarstellung eine Ebene gesucht ! « Zurück Vor »

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Tobias
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Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. September, 2001 - 17:59:   Beitrag drucken

Hallo an alle;
Gegeben seien die Punkte A=(2;1;5) und B=(5;5;z), wobei A,B in der Ebene liegen. Die Richtung A nach B hat die grösste Steigung 3/5.
Nun ist die Parameterdarstellung der Ebene gesucht, sowie z soll als funktion aus x,y (f(x;y)) angeben werden.
Es wäre toll, wenn mir jemand weiterhelfen würde, Tobias
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Marten Sprecher (Marten)
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Veröffentlicht am Dienstag, den 18. September, 2001 - 22:17:   Beitrag drucken

Ich denke mal das geht nicht denn, um eine Ebene aufzuspannen muss man drei Punkte oder zwei Geraden haben. In diesem Fall hast du gerade mal 2 Punkte die mit einer Gerade verbunden sind. Die Ebene kann also nicht aufgestellt werden, weil dir ein dritter Punkt fehlt.
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Kröte0815
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Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. September, 2001 - 00:20:   Beitrag drucken

ich denke mir das so: (falls "Steigung" heißt: bezogen auf x-y-Ebene)
mit z=f(x;y) gilt wegen
A: 5=f(2;1) und wegen
B: z=f(5;5)

=> Steigungsdreieck hat Katheten Dz und Dxy
mit (Dxy)² = (Dx)² + (Dy)²
(bedeutet: die zur x-y-Ebene parallele Kathete Dxy des Steigungsdreiecks
ist ihrerseits eine Hypotenuse im zur x-y-Ebene parallelen Dreieck mit Katheten Dx und Dy)

wobei Dx= 5-2 =3 und Dy=5-1=4 sich aus der Differenz der x- und y- Koordinaten von B und A ergibt.

=> (Dxy)² = 3²+4² => (Dxy)=5

Steigung ist 3/5=Dz/Dxy
=> Dz = 3

z=1+Dz
=> z=1+3 = 4

=> B=(5|5|4)
==========

=>
Richtungsvektor der Geraden g durch A und B ist (3;4;-1)

Wenn die Richtung A nach B mit 3/5 die größte Steigung haben soll, dann müssen alle anderen Steigungen von A aus kleiner sein als 3/5.
Insbesondere ist dann die Steigung der Geraden, die durch B geht und orthogonal auf der Geraden g durch A und B steht, gleich Null (bezüglich der x-y-Ebene), weil sie parallel zur x-y-Ebene ist.
Richtungsvektor dieser Geraden ist dann ein Vektor u, dessen z-Komponente gleich Null sein muss:

u=(a;b;0)

Es muss gelten: Skalarprodukt u*(3;4;-1) = 0
=> 3a+4b=0 => b=-¾a
=> Richtungsvektor u=(a;-¾a;0)= a*(1;-¾;0) oder auch (4;-3;0)

An dieser Stelle kann man schon eine Parameterdarstellung der Ebene angeben:

E: (x,y,z) = (2;1;5) + r*(3;4;-1) + s*(4;-3;0)


Der Normalenvektor n der Ebene muss sowohl zu diesem Richtungsvektor (4;-3;0) als auch zum Richtungsvektor von g orthogonal sein, Berechnung z.B. mit Vektorprodukt, n=(3;4;-1) x (4;-3;0)

n = (3;4;25)

Also ist die Normalform der gesuchten Ebene gleich

3x + 4y + 25z = d

wobei d so gewählt werden muss, dass A und B die Gleichung erfüllen:
d=3*2+4*1+25*5 = 135

=> Normalform der Ebene: 3x + 4y + 25z = 135

=> 25z = 135-3x-4y
=> z = f(x;y) = 5.4 - 3/25 *x - 4/25 *y
==============================
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Kröte0815
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Veröffentlicht am Montag, den 01. Oktober, 2001 - 19:16:   Beitrag drucken

Kein Widerspruch heißt also, es stimmt?

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