| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2000 - 08:13: | 
|
Brauche bis heute Nachmittag Lösung für folgendes
allgemeines Integral
Summe 1/ x2-kx+r dx
mit k=(a+b) und r= ab |
Bodo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2000 - 22:19: |
|
Was meinst Du mit Summe?
Das mit dem Integral geht folgendermaßen:
x2-kx+r=(x-a)(x-b)
Es gilt 1/(x2-kx+r)=e/(x-a) + f/(x-b)
Bestimme jetzte und f, sodaß die Gleichung erfüllt ist. Und die beiden Teilintegrale sind ja elementar mit dem Logarithmus zu bestimmen.
OK? |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 04. Februar, 2000 - 07:00: |
|
Bodo, überhaupt nicht verstanden.
Kriegst du das detailierter hin. |
Reinhard Gruber
| | Veröffentlicht am Samstag, den 05. Februar, 2000 - 22:59: |
|
Hallo Anonym
Daß unter den gegebenen Bedingungen x²-kx+r = (x-a)(x-b) ist, kannst du durch ausmultiplizieren leicht selber überfrüfen.
Es gilt also ò1/(x²-kx+r)dx = ò1/(x-a)(x-b)dx
Das Problem ist, daß durch dir Multiplikatio im Nenner bei Integrieren große Schwierigkeiten entstehen. Man entgeht diesem, indem man das Produkt in eine Summe unzuwandeln versucht, und zwar mit Hilfe der Partialbruchzerlegung:
Man nimmt an, 1/(x-a)(x-b) ist gleich e/(x-a) + f/(x-b), wobei e und f irgendwelche zähler sind. Es ligt nun daran, diese e und f auszurechnen, daß diese Geleichung stimmt.
1/(x-a)(x-b) = e/(x-a) + f/(x-b)
Gleichung mit (x-a)(x-b) multiplizieren
1 = e(x-b) + f(x-a)
1 = ex - eb + fx + fa
0x + 1 = x(e+f) + (fa - eb)
Der Trick bei der Partialbruchzerlegung ist, die Gleichung auf genau diese Form zu bringen. Diese Gleichung muß für alle x gelten, und das tut es nur, wenn alle Koeffizienten (=Zahl neben dem x bzw, die Zahl ohne x) gleich sind.
daraus folgt:
0 = e+f
1 = fa - eb
e und f müssen ausgerechnet werden.
e = -f
1 = fa - eb = fa + fb = f(a+b)
1/(a+b) = f
-1/(a+b) = e
Nun könne wir in die ursprüngliche Formel einsetzen:
1/(x²-kx+r) = -1/(a+b)(x-a) + 1/(a+b)(x-b)
ò[-1/(a+b)(x-a) + 1/(a+b)(x-b)]dx =
ò-1/(a+b)(x-a)dx + ò1/(a+b)(x-b)dx =
1/(a+b) ist nur eine Konstante, die aus dem Integral herausgehoben werden kann
-1/(a+b)ò1/(x-a)dx + 1/(a+b)ò1/(x-b)dx =
das Integral von 1/x ist ln(x) und von 1/(x-a) ist ln(x-a) usw
-1/(a+b)*ln(x-a) + 1/(a+b)*ln(x-b) =
1/(a+b) * ( ln(x-b) - ln(x-a) ) =
wenn man will, kann man die Logarithmen zusammenfassen
1/(a+b) * ln[(x-b)/(x-a)]
Hoffe das war detailliet genug, sonst einfach nochmal melden
Reinhard |
|
