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Hi, ich brauche dringend Hilfe,Ableit...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Differentialrechnung » Ableitungen » Hi, ich brauche dringend Hilfe,Ableitungen! « Zurück Vor »

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Claudia (Tweety24)
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Veröffentlicht am Samstag, den 08. September, 2001 - 13:29:   Beitrag drucken

Hi,
ich brauche eure Hilfe. Ich brauche die erste Ableitung von folgenden Funktionen:
a) f(a)=4/5(-1/2cos(2a/3)+1/2sin(-a/3))
f`(a)=???
b) f(t)= tcosp*a+ sin(pt)
f`(t)=????
c) f(x)= 4*(sin(2x)- kcos(kx))/3+x/2
f`(x)=????

Bitte helft mir!!
Danke!! Viel Spaß noch!!
Claudi
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Michael
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Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 09:27:   Beitrag drucken

a) f(a)=4/5(-1/2cos(2a/3)+1/2sin(-a/3))
[cos(2a/3)]´ = -sin(2a/3)*2/3
cos abgeleitet ergibt sin
innere Funktion nicht vergessen, Kettenregel!
daher der Faktor 2/3
[sin(-a/3)]´ = cos(-a/3)*(-1/3)
f´(a) = 4/5(1/2sin(2a/3)*2/3 + 1/2cos(-a/3)*(-1/3))
f'(a) = 4/5(1/3sin(2a/3) - 1/6cos(-a/3))

b) f(t)= tcosp*a+ sin(pt)
f'(t)=cos(pa) + p*cos(pt)

c) f(x)= 4*(sin(2x)- kcos(kx))/3+x/2
f'(x) = 4*(2cos(2x)+k²sin(kx))/3 + 1/2
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Claudia (Tweety24)
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Veröffentlicht am Sonntag, den 09. September, 2001 - 11:40:   Beitrag drucken

Hallo Michael!
Danke für deine Hilfe!!! Kannst du mir aber noch mal die Rechenwege (ausführlich(mit Text)) aufschreiben, bitte!! Denn ich versteh nicht wie du auf die Ergebnisse gekommen bist.
Danke! Viel Spaß noch!!
Claudi
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Michael
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Veröffentlicht am Montag, den 10. September, 2001 - 12:02:   Beitrag drucken

erstmal die Ableitungen der beiden trigonometrischen Funktionen:
[cos x]' = -sin x
[sin x]' = cos x

bei verketten Funktionen: Anwendung der Kettenregel:
[sin(g(x))]' = cos(g(x))*g'(x)
äußere Funktion ist sin x, die innere g(x)
Beispiel:
f(a)=sin(-a/3)
äußere Funktion ist sin()
innere Funktion -a/3, abgeleitet nach a -1/3
f'(a)=cos(-a/3)*(-1/3) = (-1/3)*cos(-a/3)
weiteres Beispiel:
f(a)=cos(2a/3)
äußere Funktion ist cos(), die innere 2a/3
f'(a)=-sin(2a/3)*(2/3) = (-2/3)*sin(2a/3)

nun zu a)
f(a) = (4/5)*[(-1/2)cos(2a/3) + (1/2)sin(-a/3)]
die multiplikativen Konstanten 4/5, -1/2 und 1/2 bleiben beim ableiten erhalten
die Ableitungen der verketteten cos und sin-Funktion sind oben hergeleitet
f'(a) = (4/5)*[(-1/2)*(-sin(2a/3)*(2/3) + (1/2)cos(-a/3)*(-1/3)]
zusammenfassen der Faktoren ohne a:
f'(a) = (4/5)*[(1/3)sin(2a/3) - (1/6)cos(-a/3)]


b)
f(t)=t*cos(pa) + sin(pt)
Ableitung nach t, pa ist Konstante (kein t vorhanden), auch cos(pa) ist ohne t, daher
wird cos(pa) bei der Ableitung nach t wie eine Konstante behandelt
sin(pt) wird wieder mit der Kettenregel abgeleitet (s.o.)
f'(t) = cos(pa) + cos(pt)*p = cos(pa) + p*cos(pt)
aber
f'(p) = t*(-sin(pa)*a) + cos(pt)*t = -at*sin(pa) + t*cos(pt)

c)
f(x)=sin(2x)
f'(x)=cos(2x)*2
auch hier wieder Kettenregel: äußere Funktion sin(), innere Funktion 2x, die abgeleitet 2 ist

f(x)=k*cos(kx)
multiplikative Konstante k bleibt erhalten, dann wieder Kettenregel: äußere Funktion cos(), innere kx
f'(x)=k*(-sin(kx)*k)

gesamte Funktion:
f(x) = 4(sin(2x)-kcos(kx))/3 + (x/2)
4*(..)/3 kann man schreiben als (4/3)(..)
f(x) = (4/3)(sin(2x)-kcos(kx)) + (1/2)x
f'(x) = (4/3)(cos(2x)*2-k(-sin(kx)*k)) + (1/2)
f'(x) = (4/3)(2cos(2x) + k²sin(kx)) + (1/2)

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