| Autor |
Beitrag |
    
julia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 15:51: | 
|
Ok, das ist die Extremwertaufgabe um die es geht...
In einem Kreiskegel mit dem Grundkreisradius R und der Höhre H soll ein Zylinder mit grösstmöglichem Volumen einbeschrieben werden"
Wie soll das gehen?
Ich bin im www fündig geworden auf
http://www.gym-oberasbach.de/html/matheprojekt11c/maxi.html
aber das ist ja wohl die unübersichtlichste Lösung die ich je gesehen habe! Was hat der denn da gemacht? Vielleicht kann mir einer den oben gewählten Lösungsweg erklären oder einen besseren und übersichtlicheren hier posten?
Bitte helft mir, mein Lehrer reisst mir den Kopf ab wenn ich das morgen nicht in sein Fach lege!!
Danke
Julia |
Michael
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 16:43: |
|
bei solchen Aufgaben unbedingt eine Skizze machen
im Querschnitt: Dreieck mit der Grundseite 2R und der Höhe H
diesem Dreieck ist ein Rechteck einbeschrieben, eine Kante liegt auf der Grundseite des Dreiecks,
zwei Ecken jeweils auf den Seiten des Dreiecks symmetrisch zur Höhe der Grundseite
das einbeschriebene Rechteck ist der Querschnitt des Zylinders, mit der Breite 2r (Durchmesser des Zylinders) und der Höhe h
Volumen des Zylinders:
V = pi * r² * h
in dieser Gleichung sind zwei Variablen
deshalb wird noch eine Zusatzbedingung benötigt
hier: Strahlensatz
r : R = (H-h) : H vgl. obige Skizze
R und H sind bekannt
mit Hilfe der Zusatzbedingung lässt sich eine Unbekannte durch die andere ausdrücken:
r = R - (h/H)*R oder h= H -(r/R)*H
man hat nun 2 Gleichungen:
V = pi * r² * h und h= H -(r/R)*H (bzw. r= ...)
setzt man die zweite in die erste ein, dann hat
die erste Gleichung nur noch eine Unbekannte:
V = pi * r² * [H -(r/R)*H]
V ist dann nur noch von r abhängig, pi, R und H sind Konstanten:
V(r) = pi*r²*H - pi*r²*(r/R)*H
V(r) = pi*r²*H - pi*r³*H/R
dieses Volumen soll maximal sein
Extremwerte mit erster Ableitung
V'(r) = 2*pi*H*r - 3*pi*r²*H/R
erste Ableitung null setzen:
V'(r)=0 pi*r*H*(2 -3r/R) = 0
r=0 oder 2-3r/R=0
r=0: V=0 also Minimum
2-3r/R=0
2R=3r
Zylinderradius r=(2/3)*R
mit der Zusatzbedingung lässt sich die Höhe des Zylinders ausrechnen:
h = H -(r/R)*H
h = H - ((2/3)*R/R)*H = H - (2/3)*H
Zylinderhöhe h=H/3
Kreiskegel: Radius R, Höhe H
einbeschriebener Zylinder: Radius r=(2/3)R, Höhe h=(1/3)H
ich hoffe, daß der Lösungsweg klar geworden ist
da das Ergebnis von dem der angegebenen Webseite
abweicht bitte Lösung bestätigen oder korrigieren |
Julia
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 17:21: |
|
danke! Du bist mein retter
deine lösung stimmt, ist sehr gut erklärt und wird mir den kopf retten :-)
Danke, du bist ein schatz |
|
