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ChrisR (Chrisr)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 18:08: | 
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Hallo!
Gegeben ist die Ebene E1: x+z+1=0 und E2: x+y-z+3=0
a)Ermmittle eine Parametergleichung der Schnittgeraden g!
b)Weise nach , dass die Gerade g in allen Ebenen der Schar E(t) zu (t+1)*x+y+(t-1)*z+t+3=0 liegt!
c)Zeige , dass der Vektor a=(1-t 1-t 2+t) ein Spannvektor der Ebene E(t) ist und dass der Vektor a und der Richtungsvektor der Schnittgeraden g linear abhängig sind!
Vielen Dank für euer Bemühen
Chrissi |
Leo (Leo)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. September, 2001 - 18:24: |
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a) stelle für E1 und E2 die Parameterdarstellung auf und schneide die beiden miteinander (Gleichungssystem mit drei Variablen und zwei Gleichungen)
b) setzt die Parameterform in die Schar ein, und dann muss eine wahre Aussage herauskommen.
z.B. für die gerade (3 2 1)+a*(1 2 3) müsste man für
x 3+a
y 2+2a
z 1+3a
einsetzen
c) man muss zeigen, dass g einen richtungsvektor hat, der ein vielfaches von (-1 -1 1) ist
und dass a zum normalenvektor ((t+1) 1(t-1)) orthogonal ist (skalarprodikt = 0) |
lnexp
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 03:18: |
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a) aus E1 folgt x=-1-z
das setzt Du in E2 ein:
-1-z+y-z+3=0
2-2z+y=0
y=-2+2z
jetzt wählst Du einfach z.B z=s und dann gilt
x=-1-s
y=-2+2s
z=0+s
Also ist die Schnittgerade
s: x = (-1;-2;0) + s*(-1;2;1)
b)
Jetzt setzt du das in die Ebeneschar E{t} ein:
(t+1)*(-1-s)+(-2+2s)+(t-1)*s +t+3=0
-t-st-1-s-2+2s+st-s+t+3=0
0=0 kommt dabei raus
Also liegt jeder Punkt der Gerade in jeder Ebene der Ebenenschar.
c)
Der Normalenvektor von E(t) ist n=( t+1 ; 1 ; t-1 )
Jetzt muss man zeigen, dass dieser senkrecht zu a=( 1-t ; 1-t ; 2+t ) ist, also das Skalarprodukt bilden und hoffen, dass 0 rauskommt:
(t+1)*(1-t) + 1*(1-t) + (t-1)*(2+t) = 1-t2 + 1 - t + 2t + t2 - 2 - t = 0 : tatsächlich senkrecht, also ein Spannvektor.
v = ( -1 ; 2 ; 1 ) und a = ( 1-t ; 1-t ; 2+t ) sind nur dann la, wenn es ein k gibt mit
k*v = a:
( -k ; 2k ; k ) = ( 1-t ; 1-t ; 2+t )
-k=1-t : k=t-1
2k=1-t: wenn man da k=t-1 einsetzt dann bekommt man
2t-2 = 1-t oder 3t=3 also t=1
dann folgt wegen k=t-1 auch k=0
die letzte Gleichung k=2+t ist damit aber nicht erfüllt, also sind diese Vektoren nie linear abhängig.
lnexp |
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