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Beitrag |
    
Bernd
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 15:34: | 
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Hallo!
Aufgabe:
Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion 3. Grades ist zum Ursprung symmetrisch und hat in P(1/1) einen Hochpunkt. (Berücksichtige die Symmetrie bereits beim allgemeinen Ansatz.)
Normalerweise habe ich keine Probleme mit solchen Aufgaben, komme aber mit der Symmetrie nicht ganz zurecht. Wer kann mir helfen????
Danke! |
Ysanne (Ysanne)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 04. September, 2001 - 19:43: |
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Eine Funktion 3. Grades ist zu ihrem Wendepunkt symmetrisch, lernt man in der 11. Klasse. Also ist der WP schon mal bei (0/0), und das ist also auch die eine Nullstelle.
Wenn wir dann zum Ursprung symmetrisch sind, haben wir bei (-1/-1) einen Tiefpunkt, weil ja bei (1/1) der HP ist.
Also heißt das: Die Funktion sei mal
f(x) = ax³+bx²+cx+d
f'(x) = 3ax²+2bx+c
f''(x) = 6ax+2b
Wir wissen:
NST: f(0) = 0 => d = 0
WP: f''(0) = 0 => 2b = 0 => b = 0
HP: f'(1) = 0 => 3a + 2b + c = 0
TP: f'(-1)= 0 => 3a - 2b + c = 0
Zusammen mit WP sind HP und TP allerdings das gleiche. Aber wenn wir das alles in f(x) verwenden, kriegen wir:
f(x) = ax³ + bx² + cx + d = ax³ + cx
Nun wissen wir noch, daß wir durch P gehen:
f(1) = 1 => a + c = 1
Das zusammen mit HP: 3a + c = 0 gibt:
2a = -1 => a = -1/2 und damit c = 3/2
Bemerkung: So hinterher fällt mir auf, daß wir das mit dem Wendepunkt gar nicht gebraucht hätten, da es mit der Symmetrie äquivalent ist. Also lass das WP-Zeugs einfach weg, ich bin zu faul umzuschreiben. |
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