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Beitrag |
    
DaBull
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. Januar, 2000 - 19:54: | 
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Guten Abend Freunde
Über möglichst ausführliche Erläuterungen und Lösungen zu folgender Aufgabe würde ich mich freuen:
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (1/2/3),B (5/0/-1) und D (-1/6/-1) gegeben.
a) Zeigen Sie,dass es eien Punkt C gibt, für den das Viereck ABCD ein Quadrat ist und bestimmen sie die Koordinaten von C.
Das Quadrat ABCD ist die Grundfläche einer Pyramide mit der Höhe 6; der Fußpunkt der Höhe ist der Mittelpunkt dieses Quadrtats.
Bestimmen Sie die Koordinaten der beiden möglichen Pyramidenspitzen S und S´; und zeichnen Sie ein Schrägbild dieser beiden Pyramiden (Standartkoordinatensystem: mit 45°, k= 1/2 Wurzel 2, 1 LE=1 cm
Gegeben ist die Ebene E: 10x+4x-x-51=0, welch den Punkt B und den Punkt C aus a) enthält. Die Ebene E zerschneidet die Pyramide ABCDS aus a) in zwei Teilkörper. Zeigen Sie, dass die Schnittfläche ein gleichschenkliges Trapez ist. Berechnen Sie das Volumen des Teilkörpers mit der Spitze S.
Wenn ihr mir dabei helfen könntet wäre das toll!
P.S. Die Aufgabe hat auch noch einen c) Teil! Wenn ich a) und b) je verstehen sollte werden ich euch wieder um hilfe bitten. |
Haffi
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 00:03: |
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Schon mal etwas:
a) ABCD ist Quadrat, wenn die Vektoren AB und AD
senkrecht aufeinander stehen (d.h. AB*AD=0) und
außerdem gleich lang sind (d.h. |AB|=|AD|).
AB =b-a=(4/-2/-4) (als Vektor schreiben);
AD=d-a=(-2/4/-4) (Vektor!)
Die Bedingungen nachrechnen:
AB*AD=-8-8+16=0 und |AB|= Wurzel(16+4+16)=6=|AD|
C berechnen: d+AB bzw. b+AD=(3/4/-5).
Fußpkt F: a+0,5*AC=(2/3/-1). Von diesem Fußpkt aus
muß jetzt senkrecht auf das Quadrat ein Vektor der
Länge 6 entweder "nach oben" oder "nach unten"
gezeichnet/berechnet werden. Ein Vektor n, der senkrecht auf dem Quadrat steht, steht senkrecht sowohl zu AB als auch zu AD, läßt sich also per
Kreuzprodukt berechnen:
ABxAD=...=(24/24/12)=n.
Den normieren: |n|=36, also n norm.=(2/3;2/3;1/3).
Der hat jetzt die richtige Richtung und die Länge 1, soll aber die Länge 6 haben, also einfach mal 6 nehmen: (4/4/2).
Dieser Vektor wird an f drangepackt, um S zu erhalten: (2/3/-1)+(4/4/2)=(6/7/1) (Vektoren!)
Also S=(6/7/1) (kein Vektor)
Und weil das Ganze ja auch noch "nach unten" funktioniert: (2/3/-1)-(4/4/2)=(-2/-1/-3)
also S´=(-2/-1/-3).
Zeichnen mußt Du leider selber. |
DaBull
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 01. Februar, 2000 - 16:02: |
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Danke Haffi, deine Erläuterungen sind mir eine Hilfe!
Gruß DaBull |
Haffi
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 02. Februar, 2000 - 00:46: |
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Na, dann wollen wir doch noch mal ein Häppchen
nachschieben: Vorgehensweise:
Lege eine Gerade g durch A und S sowie eine Gerade
h durch D und S, dann berechne die Schnittpkte
G und H dieser Geraden mit der gegebenen Ebene.
Wenn G und H gleich weit weg von S liegen, muß
die Schnittfläche mit der Pyramide ein gleichschenkliges Trapez sein, weil die Pyramide
symmetrisch ist.
Ausführung:
AS=(6/7/1)-(1/2/3)=(5/5/-2) (Vektoren), der Rich-
tungsvektor von g ist also (5/5/-2). Als Stütz-
vektor nimm a, denn A liegt auf der Geraden.
Also g: x=(1/2/3)+s(5/5/-2).
Genauso h: x=(-1/6/-1)+t(7/1/2).
Schnittpkt G von g und E: g in E einsetzen (x1 ist
1+5s, x2 ist 2+5s, x3 ist 3-2s):
10(1+5s)+4(2+5s)-(3-2s)-51=0 => s=0,5, das einsetzen in Gleichung für g, und Du erhältst
G=(3,5/4,5/2).
Analog H=(2,5/6,5/0).
Abstände von G und H zu S : |GS|=
|(6/7/1)-(3,5/4,5/2)|=|(2,5/2,5/1)|= Wurzel 13,5,
Analog Abstand HS, gibt auch Wurzel 13,5.
Zur Volumenberechnung würd mir jetzt spontan
folgendes einfallen: HGBCS bildet eine schiefe
Pyramide. Volumenformel für schiefe Pyramiden ist
ganz normal V=1/3*Grundfläche*Höhe. Man braucht also erst mal die Fläche der Grundfläche HGBC;
dazu brauchst Du Höhe(des Trapezes), d.h. den
Abstand von G (oder H, egal) zur Geraden durch BC.
Das geht so: Lege Ebene mit Normalenvektor BC durch G. Stelle Gleichung der Geraden durch B und
C auf. Berechne Schnittpkt dieser Geraden mit der
besagten Ebene. Berechne den Abstand dieses Schnittpkts zu G, und Du hast die Höhe des Trapezes. Der Flächeninhalt des Trapezes ist dann
(|BC|+|GH|)* Trapezhöhe/2 .
Schön. Fehlt noch die Höhe unserer schiefen Pyra-
mide. Berechne einen Vektor v, der senkrecht auf
der Ebene GHBC steht, z.B. v=GHxGA.
Lege Gerade j mit Richtungsvektor v durch S.
Stelle Gleichung der Ebene auf, die durch GHBC geht (z.B. C Stützvektor, GH und HC Richtungsvektoren). Berechne Schnittpkt K von j
und dieser Ebene. Berechne Abstand von K und S,
dann hast Du die Höhe der schiefen Pyramide, und
kannst endlich ihr Volumen berechnen.
Keine Panik.
Schritt für Schritt lesen und ne Planskizze machen, dann müßte´s gehen.
Und ansonsten darfst Du gerne Fragen und Teil c)
nachliefern.
Haffi |
DaBull
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2000 - 16:12: |
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Nochmals besten Dank, Haffi. Alleine wäre ich auf solche Lösungen nie gekommen.
Hier also Teil c):
Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABCDS aus a).
Gegeben sind die Geraden g:x=(6/7/1)+s(-2/1/2)und h:x=(6/7/1)+t(5/5/-2)
Zeigen Sie das sich das Volumen der Pyramide nicht ändert, wenn ihre Spitze auf der Geraden g wandert.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte S* auf der Geraden h so, dass das Volumen V* von jeder Pyramide ABCDS* doppelt so groß wird wie das Volumen der Pyramide ABCDS. |
haffi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 03. Februar, 2000 - 23:42: |
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Hallo DaBull !
Volumen ist easy: V=1/3*Grundfläche*Höhe.
Grundfläche ist netterweise quadratisch, also
Grundfl=|AB|²=6²=36. Die Höhe war 6. Also
V=72.
Wir hatten ja letztens schon mal eine schiefe Pyramide: Das Volumen hängt nur von Grundfläche
und Höhe ab, nicht von der konkreten Lage der
Spitze. Die Grundfläche bleibt immer gleich; man
muß also nur zeigen, daß die Höhe der Pyramide sich nicht ändert, wenn wir die Spitze auf g
wandern lassen; also daß der Abstand von jedem
Punkt auf g zur Ebene die ABCD enthält, gleich
groß ist; also: daß g parallel zur Ebene liegt.
Und eine Gerade ist parallel zu einer Ebene, wenn
sich der Richtungsvektor der Geraden aus den zwei
Richtungsvektoren der Ebene linear kombinieren
läßt. Zwei Ebenen-Richtungsvektoren sind z.B.
AB und AC, also (4/-2/-4) und (2/2/-8).
Prüfen, ob
(-2/1/2)=r(4/-2/-4)+t(2/2/-8) gilt.
=> Gleichungssystem
I)-2=4r+2t
II)1=-2r+2t
III)2=-4r-8t lösbar?
Aus I) und II) ergibt sich r=-0,5 und t=0, das
paßt auch bei III). Also GLS lösbar, also g parallel zur Ebene, Teilaufgabe fertig.
Nächste: Bei fest gegebener Grundfläche verdoppelt sich das Volumen einer Pyramide genau dann, wenn
sich die Höhe verdoppelt, wie aus der Formel
V=1/3*Grundfl*Höhe hervorgeht. Wir suchen also
Punkte, die von der Ebene durch ABCD den Abstand
12 haben, und außerdem auf h liegen. Welche Punkte
haben Abstand 12 von Ebene ABCD? Alle, die auf einer der zu ABCD parallelen Ebenen E1 und E2 liegen, welche von der Ebene ABCD den Abstand 12
( nach "oben" oder "unten") haben.
Als Richtungsvektoren von E1 und E2 tun´s wieder
(4/-2/-4) und (2/2/-8) (weil die ja beide parallel
zur Ebene durch ABCD sein sollen). Fehlen noch
die jeweiligen Stützpunkte. Da bieten sich doch die beiden an, die auf der Geraden S`FS entweder
6 über S oder 6 unter S´liegen:
f+2FS=(2/3/-1)+2(4/4/2)=(10/11/3) und
f+2FS´=(2/3/-1)+2(-4/-4/-2)=(-6/-5/-5).
Also E1: x=(10/11/3)+s(4/-2/-4)+r(2/2/8)
E2:x=(-6/-5/-5)+s(4/-2/-4)+r(2/2/8).
Jetzt mußt Du noch die Schnittpkte von E1 und h
sowie E2 und h berechnen, also gleichsetzen => jeweils GLS mit drei Gleichungen und drei Variablen s,t,r ; lösen; Lösung für t in Gleichung
h einsetzen. |
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