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Klaus007
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. September, 2001 - 14:18: | 
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Hi @all,
die aufgabe lautet:
Zeigen Sie, dass es keine Ganz Rationale Funktion 3. Grades mit folgendes EIgenschaften gibt:
T (-1 ; 7) ist Tiefpunkt
Stelle 1/2 ist Wendestelle
Q (4 ; 32) ist Kurvenpunkt
Ich bin dann angefangen und habe Bedingungen aufgestellt.
1. 3a - 2b + c = 0 (weil T Tiefpunkt ist)
2. -a + b - c + d = 7 (weil T auch Kurvenpuntk ist)
3. 3a +2b = 0 (weil 1/2 Wendestelle ist)
4. 64a + 16b + 4c + d= 32 (weil Q Kurvempunkt ist)
Dann habe ich ein Gleichungssysten angefangen, doch ich kam einfach nicht zu einer Funktion die eventuell eine mögliche Lösung wäre... Liegt das daran, dass es für die Punkte in Wirklichkeit garkeine Funktion gibt ? - Wie mache ich weiter ? - Wie beweise ich das nun ? - Bitte helf mir... |
BärbelW
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. September, 2001 - 19:02: |
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Hallo Klaus,
du hast die Bedingungen richtig aufgestellt und wunderst dich jetzt, daß du das System nicht lösen kannst.
Nach der Aufgabe können die Punkte die Bedingung "ganze rationale Funktion" nicht erfüllen.
Ich habe es nicht nachgerechnet, aber du müßtest auf eine widersprüchliche Gleichung kommen. Damit hast du die Vermutung, daß eine Funktion y=ax³+bx²+cx+d existiert, die deine Bedingungen aus der Aufgabe efüllt, widerlegt, und damit die Aufgabe gelöst.
Bärbel |
Tommäs
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. September, 2001 - 20:12: |
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Hallo, ich glaube, ich kann klären, wo der Haken an der Sache ist:
f(x) = 2x³-3x²-12x
f '(x) = 6x² -6x -12
f"(x) = 12x-6
f'''(x)=12
f"(½) = 6-6=0
f'''(½) = 12 <>0
=> bei x=½ ist Wendestelle
f(4)=2*4³-3*4²-12*4 = 2*64-3*16-48 = 128-48-48=32
=> Q (4|32) ist Kurvenpunkt
f(-1) = -2-3+12 =7
f'(-1)=6+6-12=0
f"(-1)=-18<0
=> (-1|7) ist Hochpunkt
Hier ist der Haken.
Man hat nur vier freie Parameter (a,b,c,d), aber fünf Bedingungen: die vier oben aufgeführten, aber auch noch die Bedingung f''(-1)>0, denn die ist notwendig für einen Tiefpunkt. Die hilft zwar nicht bei der Bestimmung der Parameterwerte, aber die ist eben auch zu erfüllen.
Die von Bärbel geforderte widersprüchliche Bedingung ist eine Ungleichung und lautet
f"(-1)>0 für den Tiefpunkt
Genaugenommen hat man nicht nur fünf Bedingungen, sondern sogar sechs: Für die Wendestelle muss noch
f'''(x)<>0 gelten. Aber das ist bei einer Funktion dritten Grades immer erfüllt. |
BärbelW
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 10:50: |
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Hallo Thomäs,
wie kommst du auf deine Funktion
f(x) = 2x³-3x²-12x ?
Sollte das ein Beispiel sein?
Ich verstehe die Aufgabe so, daß man eine allgemeine Form annehmen sollte und zeigen, daß es eben nicht funktioniert?
Klaus hat denke ich die richtige allgemeine Funktionsgleichung y=ax³+bx²+cx+d aufgestellt und abgeleitet, dann entsprechend die Bedingungen eingesetzt.
Hat man 5 oder 6 Gleichungen für 4 Unbekannte a, b, c, d kann das System doch trotzdem lösbar sein, falls die Gleichungen "zueinander passen" ?
(in diesem Fall natürlich nicht, da es keine solche Funktion gibt).
Denke ich da was falsches?
Bärbel |
Klaus007
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 10:58: |
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Ja, wir sollten von der Form:
f(x) = ax³+bx²+cx+d ausgehen.
Also die Grundgleichung einer Funktion 3. grades. Ich bin zwar zu einem ergebnis gekommen, nur passte das ergebnis nicht wenn ich es einsetzte... wie schreibe ich nun formal hin, dasss es nciht klappte ? |
Tommäs
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 16:13: |
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Hallo Bärbel, das sollte kein Beispiel sein, f(x) = 2x³-3x²-12x ist die Funktion, die sich hier für diese Aufgabe (scheinbar) ergibt, wenn man das Gleichungssystem löst:
1. 3a - 2b + c = 0
2. -a + b - c + d = 7
3. 3a +2b = 0
4. 64a + 16b + 4c + d= 32
Es hat die Lösung a=2, b=-3, c=-12, d=0
Mit f(x)= ax³+bx²+cx+d ergibt sich dann die Funktion f(x) = 2x³-3x²-12x
Du schriebst:
...5 oder 6 Gleichungen für 4 Unbekannte a, b, c, d kann ... System ... trotzdem lösbar sein, falls die Gleichungen "zueinander passen" ?
Das denke ich auch. Nur, wie gesagt, es gibt halt Fälle, wo dann eine der notwendigen Bedingungen nicht erfüllt ist.
Eine weitere Steckbriefaufgabe, die meiner Meinung nach ebenfalls nicht lösbar ist, siehe hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/18839.html
@Klaus007:
ich kann dir nur raten, meine Rechnung nachzuvollziehen, ansonsten weiß ich erstmal nicht, wie ich dir weiterhelfen kann. |
BärbelW
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 16:14: |
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Hallo Klaus,
die Aufgabe heißt, es gibt keine Funktion und Du sollst das zeigen.
Wenn Du jetzt die Bedingungen aufstellst, tust Du so als gäbe es eine solche Funktion.
Du machst die Annahme, es gäbe die Funktion.
(Schreibe: Annahme: Es gibt die Funktion.)
Du erhältst ein Gleichungssystem mit mindestens 4 Gleichungen und 4 Unbekannten a, b, c, d.
Wenn Du dieses löst, tust Du immer noch so als gäbe es die Funktion. Da es die aber nicht gibt, wirst Du beim Lösen irgendwann eine offensichtlich falsche Aussage bekommen wie z. B. 3 = 5. Damit hast Du gezeigt, daß deine Annahme von oben falsch ist, was zu beweisen war. Das schreibst Du noch kurz unter die falsche Aussage und du bist fertig.
(Schreibe: Damit ist die Annahme widerlegt.)
Das wars.
Bärbel |
Tommäs
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 16:17: |
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Schneller. ;-)
Die falsche Aussage ist f"(-1)=-18 < 0, habe ich doch schon geschrieben.
Für einen Tiefpunkt müsste f"(-1) > 0 sein.
Tommäs |
Klaus007
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 02. September, 2001 - 17:01: |
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Hallo zusammen,
erstmal veieln Dank für eure hilfe. nachdem ich ncohmal alles neue gerechnet habe, bin ich ebenfalls zu:
f"(-1)=-18 < 0 -> Hochpunkt (wir suchen Tiefpunkt).
gekommen. Das ist ja für die Bedingung falsch, sprich wir haben bewiesen das es keine mögliche Funktion gibt. :-) |
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