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Beitrag |
    
Laura (Ninja03)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 15:46: | 
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Eine ganzrationale Funktion dritten Grades geht durch den Ursprung und hat dort die Steigung 9. An der Stelle x=1 besitz sie eine waagerechte Tangente. Sie schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine Fläche mit dem Inhalt 11/4 ein.
Ich habe berechnet, daß d=0 ist und c=9 und habe durch die letze Information noch die Gleichung
-9=3a+2b erhalten. Aber ich weiß nichts mit dem letzten Teil anzufangen.Muß ich irgendwelche Schnittstellenberechnen um zu intergrieren? |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 09:03: |
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Ja Laura. Du brauchst zusätzlich noch die Nullstellen der Funktion : Eine ist durch den Aufgabentext schon gegeben,nämlich x=0. Also mußt Du von 0 bis 1 integrieren(wobei ich mal davon ausgehe,daß die übrigen Nullstellen nicht in dieses Intervall fallen).
Was Du auch noch nicht berücksichtigt hast ist die Tatsache der waagerechten Tangente,also f'(1)=0.
Ich komme auf die Funktion f(x)=-7x³+(21/2)x²+9x als Lösungsfunktion. |
Gonzo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 14:40: |
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Hallo, die Funktion
f(x) = x³ - 6x² + 9x
erfüllt meiner Meinung nach ebenfalls die geforderten Bedingungen.
f '(x) = 3x² - 12x + 9 = 3(x² - 4x + 3) = 3(x-3)(x-1), hat also Nullstelle bei x=1, also f(x) waagrechte Tangente
und das Integral von 0 bis 1 ist ebenfalls gleich 11/4. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 31. August, 2001 - 17:44: |
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Hallo Gonzo,
Ich denke deine Antwort ist richtig bis auf das Wörtchen "ebenfalls"
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Gruß, Fern |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 01. September, 2001 - 01:31: |
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Fern und Gonzo haben Recht. Ich hab mit der Steigung 9 anstelle von 0 gerechnet. Deshalb mein falsches Ergebnis...sorry |
Gonzo
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. September, 2001 - 00:54: |
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Hallo zusammen, ich habe noch eine Frage dazu.
Ich habe mal im Graphen der ersten ausgerechneten Funktion, f1(x) = x³ - 6x² + 9x, die Fläche, deren Größe gleich 11/4 sein soll, gekennzeichnet:
Numerisch habe ich noch die Funktion
f2(x) = 22.112 x³ -37.668 x² +9*x
erhalten, die auch annähernd die geforderten Bedingungen erfüllt: waagrechte Tangente bei x=1, Flächeninhalte der eingeschlossenen Fläche zusammen gleich 11/4, Steigung 9 im Ursprung.
Ihr Graph sieht so aus:
Jetzt frage ich mich, ob es nicht auch möglich wäre, eine Funktion zu konstruieren, die ebenfalls die geforderten Bedingungen erfüllt und deren Graph ungefähr so aussieht, wie der rechte im oberen Bild (der Hochpunkt muss natürlich ebenfalls bei x=1 liegen, aber weil ich den Funktionsterm nicht kenne, habe ich die Skalierung der Achsen weggelassen)
Also eine Funktion f3(x)=ax³+bx²+9x, bei der zur Abwechslung mal das a negativ wäre. Es müsste natürlich ebenfalls gewährleistet sein, dass f'(1)=0 ist und dass die Fläche zwischen Kurve und x-Achse im Intervall [0;1] gleich 11/4 wäre.
Mir ist schon klar, dass die rechnerisch nicht herauskommt, aber heißt das, dass es sie nicht gibt?
Wenn es sie wirklich nicht gibt, gibt es dann eine anschauliche Erklärung dafür, warum es sie nicht geben kann?
Gruß
Gonzo |
Prof. Hofstetter
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. September, 2001 - 08:40: |
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Hallo Laura,
f(x)= x³ - 6x² + 9x
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Gonzo
| | Veröffentlicht am Montag, den 03. September, 2001 - 21:38: |
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Hallo, kann jemand begründen, warum es die Funktion f3(x) nicht geben kann? |
Gonzo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. September, 2001 - 23:58: |
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Auf www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/25/19222.html habe ich meine Frage vom Montag neu gestellt.
@Laura: ich möchte noch um Entschuldigung bitten dass ich zuviel Fläche gelb markiert habe. |
ich
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 09:44: |
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Hallo, Gonzo,
es gibt keinen Freiheitsgrad bei der Loesung:ganzrationale Funktion dritten Grades
--> y(x) = Ax3 + Bx2 + Cx + D
geht durch den Ursprung
--> 0 = y(0) = D
und hat dort die Steigung 9
--> 9 = y'(0) = [3Ax2 + 2Bx + C] x=0 = C
An der Stelle x=1 besitzt sie eine waagerechte Tangente.
--> 0 = y'(1) = [3Ax2 + 2Bx + C] x=1 = 3A + 2B + C
Bis hierher also (zwingend!)
==> y(x) = Ax3 + Bx2 + 9x
Sie schließt mit der x-Achse und der Geraden x=1 eine Fläche mit dem Inhalt 11/4 ein.
11/4 = INTEGRALx=0..1(Ax3 + Bx2 + 9x) dx
= [Ax4/4 + Bx3/3 + 9x2/2]x=0..1
= [Ax4/4 + Bx3/3 + 9x2/2]x=0..1
11/4 = [A/4 + B/3 + 9/2]
33/12 = (3A + 4B + 54)/12
Aus den beiden Gleichungen
3A + 4B = 33-54 = -21
3A + 2B = -9
ergibt sich
2B = -12, also B = -6
und letztlich A = 1
Die gesuchte Funktion ist (zwingend!)
==> y(x) = x3 - 6x2 + 9x gruss
ich |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 06. September, 2001 - 23:22: |
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Das Problem bei deiner Rechnung -ich- ist die Sache,daß du davon ausgehen mußt,daß im Intervall [0;1] keine Nullstellen sind. Andernfalls ist die eingeschloßene Fläche nämlich nicht gleich dem Integral und genau darum geht es Gonzo.
Dann wird es nämlich um einiges schwerer eine allgemeine Lösung zu finden,da du erst die von a und b abhängigen Nullstellen bestimmen mußt und dann über beide Teilintervalle integrierst. Einfacher ist es wohl gleich über f² zu integrieren. |
Gonzo
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. September, 2001 - 01:33: |
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Hallo Ingo,
danke für den Hinweis mit f²(x).
Dazu habe ich noch eine konkrete Frage.
Wie ich in www.zahlreich.de/hausaufgaben/messages/25/19222.html geschrieben habe, habe ich (näherungsweise!) die Funktion
f(x) = 22.112*x^3 -37.668*x^2 +9*x
auf einem Weg erhalten, den ich jetzt nicht näher erklären möchte,
die ebenfalls (leicht erkennbar) Steigung 9 im Ursprung hat
und bei x=1 eine waagrechte Tangente besitzt, wie jetzt gezeigt wird:
f'(x) = 66.336 x² - 75.336 x + 9
setze x=1 ein => f'(1)=66.336 - 75.336 + 9 = 0
Sie hat Nullstellen bei x=0, x=0.287425 und x=1.41608374:
f(0.287425) = 0.0000048, also ungefähr 0
f(1.41608374) = 0
Die Stammfunktion von f(x) ist gleich:
5.528*x^4-12.556*x^3+4.5*x^2
Das Integral von 0 bis 0.287425 über f(x) ist gleich: 0.111344
Das Integral von 0.287425 bis 1 über f(x) ist gleich: -2.528-0.111344 = -2.639344
Die Fläche unter der Kurve von 0 bis 1 ist also gleich 0.111344 + 2.639344 = 2.7507
also etwa 11/4
=============
Ich habe lange versucht, den Funktionsterm für meine andere gesuchte Funktion
(mit dem negativen Vorfaktor vor x³) auf dieselbe Weise zu errechnen wie den Term
für die Funktion hier.
Ich habe mich aber immer verrechnet, es kam nie das gewünschte Ergebnis heraus.
Deshalb möchte ich mal versuchen, über f²(x) zu integrieren:
f²(x) = 488.94054*x^6 - 1665.8296*x^5 + 1816.8942*x^4 - 678.024*x^3 + 81*x^2
Die Stammfunktion von f²(x) ist
69.848649*x^7 - 277.63827*x^6 +363.37884*x^5 - 169.506*x^4 + 27*x^3
Das Integral von 0 bis 1 über f²(x) ist gleich 13.08322.
Meine Fragen:
War dieser letzte Schritt brauchbar, oder hat es keinen Sinn, von 0 bis 1 zu integrieren?
Wie geht es jetzt weiter?
Ich kann keinen Zusammenhang von 13.08322 mit dem gewünschten Wert 11/4 erkennen.
Wie muss f²(x) mit dem Wert 11/4 zusammenhängen? |
Gonzo
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 18. November, 2001 - 20:41: |
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Wollte nochmal nachfragen, ob mir jemand erklären kann, wie f²(x) mit dem Wert 11/4 zusammenhängen muss. |
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