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Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 17:44: | 
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Hi Leute!
Suche Ansätze für folgende Aufgaben:
fr(x)=rx+e^(-x) mit x element und r element R>0
Asymptote = rx
1) Die Gerade x = x0 schneidet den Graphen fr in P0 und die Asymptote in Q. Für welchen Wert von x0 element R>0 hat das Dreieck O,P0,T (O=Ursprung) maximalen Flächeninhalt?
2) Geben Sie die Gleichung der Tangenten an den Graphen zu fr in (speziell r=1/3) durch den Ursprung an und ermitteln Sie den Berührpunkt.
Also wie schon gesagt, Ansätze reichen schon. Einfach aufschreiben dann komme ich schon weiter..
Ciao
Bernd |
ricewind
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 20:13: |
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1) Meinst du Q statt T, also das Dreieck OQP0?
Dann gilt:
A(OQP0) = |QP0| * x0/2
also Funktion A(x0) = |QP0| * x0/2, bei der |QP0| eliminiert werden muss:
|QP0| = fr(x0) - Asymptotenterm = rx0+e^(-x0) -rx0 = e^(-x0)
=> A(x0) = e^(-x0) * x0/2
von A(x0) ist das Maximum zu bestimmen.
2) Tangente muss durch Punkt (x|fr(x)) des Graphen und gleichzeitig durch Ursprung gehen:
ihre Steigung m = (fr(x) -0)/(x-0) = fr(x)/x
ihre Steigung muss gleich fr'(x) sein, setze fr'(x) = m und löse dies nach x auf.
Setze speziell r=1/3 ein und berechne konkrete Koordinaten, vergleiche dies mit Skizze des Funktionsgraphen von f1/3(x) |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 20:20: |
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Hallo Bernd,
Der Punkt T des Dreiecks O,P0,T ist nicht definiert!
Es gibt keine Tangente an den Grafen, die durch den Ursprung geht.
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Bernd
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 21:09: |
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Danke für die schnelle Antwort!
Genau T war ein blöder Tippfehler..
Q statt T!
Werde jetzt noch mal loslegen und die Sachen komplett ausrechnen.
Danke und Ciao
Bernd |
ricewind
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. August, 2001 - 23:14: |
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Hallo, die Behauptung "Es gibt keine Tangente an den Grafen, die durch den Ursprung geht." ist mir nicht klar, ich habe eine Tangente nach meiner Beschreibung gefunden:
Im Berührpunkt (b|y) muss gelten:
fr'(b)=m
wenn t(x)=mx die Tangentenfunktion ist.
Außerdem muss gelten t(b)=y=f(b)
also
f(b)=t(b)=mb=fr'(b)*b
also
f(b)=fr'(b)*b
und mit fr(x)=rx+e^(-x), fr'(x)=r-e^(-x) also
rb+e^(-b) = [r-e^(-b)]*b
rb+e^(-b) = rb-be^(-b) |-rb+be^(-b)
e^(-b)+be^(-b) = 0
e^(-b)(1+b)=0
b=-1
Also ist die x-Koordinate des Berührpunktes gleich -1, unabhängig von der Größe von r.
Die Tangente läuft daher durch den Punkt
(-1|fr(-1)) = (-1|-r+e) = (-1|e-r)
und hat dort die Steigung fr'(-1)=r-e
und daher ist die Funktion, die die gesuchte Tangente beschreibt:
t(x) = (r-e)x
Im angefügten Bild ist der Graph f1/3(x) mit der gesuchten Tangente dargestellt.
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Fern
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. August, 2001 - 07:07: |
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Hallo ricewind,
Die Funktion ist gegeben durch:
fr(x)=rx+e^(-x) mit x element und r element R>0
Sie ist also nur für positive x-Werte definiert.
Ich bleibe bei meiner Behauptung: es gibt keine Tangente durch den Ursprung an den Grafen der gegebenen Funktion!
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Gruß, Fern |
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