| Autor |
Beitrag |
    
Saskia Golenia
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Januar, 2000 - 14:05: | 
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Gegeben ist: A(-4/1/3) liegt in E und
E ist senkrecht zu g:x=(-4/1/3)+t*(-2/3/4)
Gesucht ist die Normalform!
Mein Problem ist, dass ich nicht weiss, wie ich an die 2 Richtungsvektoren für die Gleichung E komme.
Bräuchte bis morgen eine Antwort! Danke schonmal im voraus! |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. Januar, 2000 - 21:48: |
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Hallo Saskia,
Gleichung einer Ebene durch einen Punkt
A[a,b,c] mit Normalenvektor n=[n1,n2,n3]
E: n1(x-a)+n2(y-b)+n3(z-c)=0
Unser Beispiel:
A=[-4,1,3]
n=[-2,3,4]
E: -2(x+4)+3(y-1)+4(z-3)=0
-2x+3y+4z=23...Gleichung der gesuchten Ebene
============
Für die Normalform: durch Wurzel(29) dividieren.
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Bryan
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 15:21: |
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Hallo !
Ich habe Probleme bei den zwei folgenden Aufgaben:
1.Gegeben sind die beiden Ebenen
p1=(1,2,6)+l*(1,-2,1)+m*(a,-1,2)
p2=(1,4,c)+l*(2,1,2)+m*(b,1,5)
mit zunächst unbekannten Konstanten a,b,c.
Gesucht sind a,b so,dass die beiden Ebenen parallel sind
und mit den gefundenen Werten für a,b ist c gesucht so,
dass die beiden Ebenen den Abstand Wurzel(2) haben.
2.Gegeben ist eine Gerade g und eine Ebene p
g=(1,2,4)+l*(3,1,-1)
p=(2,4,-1)+m1*(-2,1,1)+m2*(1,2,-2)
Gesucht sind alle Punkte der Geraden g, die von
der Ebene p den Abstand d=Wurzel(2) haben.
Vielen Grüße !
Bryan |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 18:48: |
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Hallo Bryan,
1. Aufgabe
Wir suchen zunächst die Normalen der Ebenen:
n1=(1;-2;1) x (a;-1;2) = (-3; a-2;-1+2a)
n2=(b;1;5) x (2;1;2) = (-3;10-2b;b-2)
Damit beide Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren gleich sein:
a-2=10-2b
-1+2a=b-2
=========
Aus diesen beiden Gleichungen a=2 und b=5
================
Mit diesen Werten lauten die Ebenengleichungen in Normalform:
p1: -3(x-1)+3(z-6)=0
p1: -3x+3z=15
p2: -3(x-1)+3(z-c)=0
p2= -3x+3z=3c-3
Wir normieren beide Gleichungen mit W(3²+3²)=3W(2) dann steht auf der rechten Seite der Ebenenabstand vom Ursprung.
Also für p1: d1=15/(3W(2))= 5/W(2)
für p2: d2=(3c-3)/(3W(2))= (c-1)/W(2)
Der Abstand der Ebenen voneinander ist d1-d2.
Dieser soll W(2) werden.
5/W(2)-(c-1)/W(2)=W(2)
daraus c=4
======================= |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. September, 2000 - 18:50: |
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Hallo Bryan,
1. Aufgabe
Wir suchen zunächst die Normalen der Ebenen:
n1=(1;-2;1) x (a;-1;2) = (-3; a-2;-1+2a)
n2=(b;1;5) x (2;1;2) = (-3;10-2b;b-2)
Damit beide Ebenen parallel sind, müssen die Normalenvektoren gleich sein:
a-2=10-2b
-1+2a=b-2
=========
Aus diesen beiden Gleichungen a=2 und b=5
================
Mit diesen Werten lauten die Ebenengleichungen in Normalform:
p1: -3(x-1)+3(z-6)=0
p1: -3x+3z=15
p2: -3(x-1)+3(z-c)=0
p2= -3x+3z=3c-3
Wir normieren beide Gleichungen mit W(3²+3²)=3W(2) dann steht auf der rechten Seite der Ebenenabstand vom Ursprung.
Also für p1: d1=15/(3W(2))= 5/W(2)
für p2: d2=(3c-3)/(3W(2))= (c-1)/W(2)
Der Abstand der Ebenen voneinander ist d1-d2.
Dieser soll W(2) werden.
5/W(2)-(c-1)/W(2)=W(2)
daraus c=4
======================= |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 13:15: |
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Hi Bryan,
Es fehlt noch eine Lösung Deiner zweiten Aufgabe ;
Hier die erforderliche Nachsendung:
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1.Schritt
Wir schreiben die skalaren Parametergleichung der Geraden g auf.
x = 1 + 3 t , y = 2 + t , z = 4 - t ...............................................( I )
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2.Schritt
Wir wählen drei Punkte A,B,C der Ebene E aus:
für m1 = m2 = 0 kommt A ( 2 / 4 / - 1 ) ,
für m1 = 1 , m2 = 0 kommt B ( 0 / 5 / 0 ) ,
für m1 = 0 , m2 = 1 kommt C ( 3 / 6 / - 3 )
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3..Schritt
( N.B.: über den kleinen lateinischen Buchstaben und
über den Buchstabenpaaren mit grossen Buchstaben sind
im folgenden Vektorpfeile anzubringen ! )
Wir ermitteln eine Koordinatengleichung der Ebene E.
Das geht so:
Mit den Vektoren u = AB , v = AC bilden wir das Vektorprodukt
n = a x b ; wir erhalten mit dem Vektor n einen Normalenvektor
er Ebene E
Ausführung;:
u = { -2 ; 1 ; 1 } , v = { 1 ; 2 ; - 2 }
n = { - 4 ; - 3 ; - 5 }
Ansatz für eine Koordinatengleichung der Ebene E:
4 x + 3 y + 5 z = d
B ( 0 / 5 / 0 ) liegt auf E à d = 15..............................................(III)
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4.Schritt
Wir führen die Gleichung ( III ) in die Hessesche Normalform über.
Gleichung auf null bringen und beide Seiten mit dem
Hesseschen Divisor H, d.h. mit
H = wurzel (4 ^ 2 + 3 ^ 2 + 5 ^ 2) = wurze l( 50 ) dividieren.
Es entsteht die Normalform NF :
[ 4x + 3 y + 5z - 15] / wurzel ( 50 ) = 0.......................................( IV )
Wir wissen: setzt man für x, y, z die Koordinaten eines Punktes
P( x / y / z ) ein, so stellt die linke Seite von ( IV )
gerade den Abstand des Punktes P von der Ebene E dar
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5.Schritt
Wir setzen in ( IV ) auf der linken Seite die Koordinaten-Werte
aus der Geradengleichung (I) ein.
Es kommt für die linke Seite der Normalform
[4+12t + 6 + 3t +20-5t -15] /wurzel(50),
vereinfacht:
[15 + 10 t ] / wurzel (50)
Dies ist der Abstand s eines laufenden Punktes auf g von der Ebene E
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6.Schritt
Realisierung der Bedingung :
Der absolute Betrag von s ist wurzel (2),
d.h. wir setzen einerseits s = wurzel(2),
andrerseits s = - wurzel(2)
Somit:
1. Gleichung für t : 15 + 10 t = wurzel(50 ) * wurzel(2) = 10,
daraus folgt t = - 1 / 2 ; erster Losungspunkt P1 (-1 /2 ; 3/2 ; 9/2)
2. Gleichung für t : 15 + 10 t = wurzel(50) * [- wurzel(2)] = - 10 ,
t = - 5 / 2 ; zweiter Lösungspunkt P2 (- 13 / 2 ;- 1 / 2 ; 13 / 2) .
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Gruss
H.R.Moser,megamath.
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Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 18:06: |
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Hallo !
Erst einmal vielen Dank für die Lösung!
Ich habe allerdings noch eine kleine Frage:
Bei der ersten Aufgabe ist die Normale
n1=1Richtungsvektor x 2Richtungsvektor
n2=2Richtungsvektor x 1Richtungsvektor
ist das Zufall oder gilt das immer ??
Und dann hätte ich noch eine kleine Aufgabe:
Gegeben sind die beiden Geraden
g1=(1,11,15)+l*(a,1,c)
g2=(1,2,3)+m*(0,3,4)
a und c sind unbekannte Konstanten a ungleich 0
Gesucht Schnittpunkt der Geraden und
Konstanten a,c so, dass der Vektor (a,1,c) die Länge
Wurzel(12) hat und die Geraden sich in einem Winkel
von 30° (cos30°=Wurzel(3)/2) schneiden.
Zweiter Teil:
Sei nun a=2,aber c unbekannt. Gesucht ist c so,
dass der Punkt(9,-3,11) in der Ebene liegt,die g1 und g2 enthält.
Viele Grüße !!!
Bryan |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. September, 2000 - 22:28: |
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Hi Bryan
Deine neuen Aufgaben wollen wir numerieren:
Teil 1 bekommt die Nummer 3, Teil 2 die Nummer 4.
Die Parameter l und m in den Geradengleichungen werden
umbenannt: l soll t , m soll s heissen ; das passt mir besser!
Die skalaren Gleichungen der Geraden sind dann:
g1 : x = 1 + t * a , y = 11 + t , z = 15 + t * c
g2: x = 1 , y = 2 + s * 3 , z = 3 + s * 4
Lösung der Aufgabe 3
Sollen diese Geraden sich schneiden, müssen die Koordinaten für
passende t- und s-Werte paarweise übereinstimmen.
Fangen wir mit der Gleichsetzung an
Gleiche x-Werte; daraus folgt, da a nicht null sein darf : t = 0
Dies führt bei der Gleichsetzung der y-Werte zu s = 3.
Für diese t- und s- Werte stimmen die z-Werte a fortiori überein
Setzen wir die Parameter in dieses oder jenes System ein, wir erhalten
jedenfalls den Punkt
S (1 / 11 / 15 )
als Schnittpunkt der Geraden g1 und g2.
Den Schnittwinkel phi erhalten wir mit Hilfe des Skalarproduktes der
Richtungsvektoren u und v der beiden Geraden
u = {a;1;c} , v = {0;3;4}
Bekanntlich gilt:
Skalarprodukt u . v = [u absolut ] * [v absolut ] * cos (phi) , also:
a* 0 + 1*3 + c*4 =wurze(12) * wurzel [3 ^ 2 + 4 ^ 2), daraus erhalten
wir eine erste Gleichung für a und c , nämlich:
3 + 4 * c = 15
Eine zweite Gleichung erhalten wir aus der Betragsbedingung für den
Vektor u:
a ^ 2 + 1 ^ 2 + c ^ 2 = 12.
Schluss: c = 3 und a ^ 2 = 2, also a = plus oder minus wurzel(2)
Sind die gesuchten Werte von a und c.
Gruss
H.R,Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 09:49: |
|
Hi Bryan,,
Lösung Deiner Aufgabe 4:
pro memoria:
a ist gegeben : a = 2, ferner ist der
Punkt P( 9 / - 3 / 11 ) gegeben.
Nach wie vor schneiden sich die Geraden g1 und g2
im Punkt S( 1 / 11 / 15), der sich für die Parameterwerte
t = 0 oder s = 3 ergibt
Um zu erreichen, dass P in der von g1 ung2 aufgespannten
Ebene liegt , gibt es mehrere Methoden.
Jedesmal lässt sich durch das entsprechende Verfahren die
Konstante c ermitteln.
1.Methode
Wir bestimmen den Verbindungsvektor w der Punkte S und P:
Vektor w = SP = {8; - 14 ; -4 } = 2 * { 4 ; - 7 ; - 2 }
Ferner kennen wir die Richtungsvektoren u und v der Geraden
g1 und g2 , nämlich:
u = { 2 , 1; c } , v = { 0; 3; 4 }
der Punkt P liegt genau dann in der Ebene E, wenn die drei
Vektoren u , v , w linear abhängig sind
Dies ist z.B. dann der Fall,
wenn die dreireihige Determinante K, gebildet aus den Koordinaten
der Vektoren u, v, w etwa als Zeilenvektoren ) null ist.
Diese Bedingung lautet
( Entwicklung der Determinante nach der ersten Spalte ):
K = 2 * ( -12 + 56) + 0 + 8 * (4 - 3c ) = 0 ,
daraus c = 5.
2.Methode
Wir ermitteln (wie bereits früher geschehen) einen Normalenvektor
n der Ebene E als Vektorprodukt der Vektoren u und v:
n = u x v = { 4 - 3c ; -8 ; 6 }
Mit n erhalten wir sofort eine Koordinatengleichung der Ebene E:
(4- 3c) * x - 8 * y + 6 * z = L
L ergibt sich, wenn wir die Koordinaten von S einsetzen zu
6 - 3c
Die Koordinaten von P müssen nun diese Gleichung befriedigen.
Setzt man diese Werte x = 9 , y = - 3 , z = 11 ein, so erhält
man eine Gleichung für c, aus der wiederum c = 5 entspringt
Eine dritte Methode folgt später !
Inzwischen
Gruss
H.R.Moser,megamath |
h.r.moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 19:20: |
|
Hi Bryan,
Es folgt nun, wie versprochen , eine dritte Lösungsmethode
zu Deiner vierten Aufgabe:
Es gelten die früher benützten Bezeichnungen, insbesondere:
Schnittpunkt S der Geraden g1 und g2 : S ( 1 / 11 / 15 ),
Punkt P ( 9 / - 3 / 11 ).
Normalenvektor n = {4 -3c ; -8 ; 6 } der Ebene E..
S sei der Anfangspunkt des Vektors n, der Endpunkt sei D.
Wir verlangen nun, dass das Dreieck
S P D (!)
bei S einen rechten ( nicht einen linken ) Winkel haben soll
Zu diesem Behuf setzen wir das Skalarprodukt der Vektoren
v = SP = { 8 ; -14 ; - 4 } und n null . Es entsteht daraus die
Gleichung:
8*(4 - 3 c ) + ( - 14 ) * ( - 8 ) + ( - 4 )* 6 = 0 , woraus
c = 5 folgt.
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 20:05: |
|
Hi Fern,
Bei Deiner Lösung der ersten Aufgabe von Bryan hat sich
ein kleiner Fehler eingeschlichen.
Die gesuchte Konstante c beträgt nicht 4 , sondern es gilt c = 8 ;
Die Werte für a und b sind hingegen richtig: a = 2 , b = 5.
Man kann c so berechnen:
Eine Koordinatengleichung für die erste Ebene P1 ist:
- x + z = 5
Zweite Ebene P2:
- x + z = c - 1 ( diese Gleichung wird allerdings nicht benötigt )
Gleichung der Ebene P1 in Normalform:
( - x + z - 5 ) / wurzel(2) = 0
Die Abstandsbedingung lautet:
Der Abstand des Punktes (1 / 4 / c ) auf P2 von P1 beträgt wurzel (2).
Aus der Abstandsformel von Hesse folgt die Gleichung für c :
( - 1 + c - 5 ) / wurzel(2) = wurzel(2) , woraus c = 8 folgt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 20:24: |
|
Hallo Fern,
Ich glaube, wir haben beide richtig gerechnet; die Aufgabe
hat offenbar zwei Lösungen:
Die Lösung c = 4 gehört Dir,
c = 8 beanspruche ich selbst
Sorry !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 22:26: |
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Hallo H.R.Moser,megamath,
Ja, es ist klar, dass zwei Lösungen bestehen müssen.
Die Ebene p1 ist unabhängig von c, also fest gegeben: dann gibt es zwei Ebenen, die den Abstand W(2) davon haben. c=4 definiert die eine Ebene und c=8 die zweite auf der anderen Seite von p1.
Gruß, Fern |
Bryan (Bryan)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. September, 2000 - 23:53: |
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Hallo !!!
Erst mal vielen Dank für eure ausführlichen und gut verständlichen Lösungswege !
Ihr habt mir echt weitergeholfen !
Eine kleine Frage hätte ich noch, ist es möglich die zweite Aufgabe auch ohne der Hesseschen Normalform zu lösen ?
Viele Grüße !
Bryan |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. September, 2000 - 07:59: |
|
Hi Bryan,
Man kann die Aufgabe 2 auch ohne den Gebrauch der
Hesseschen Formel lösen.
Jedoch ist jede andere Methode umständlicher und daher
nicht zu empfehlen.
Im vorliegenden Fall ermitteln wir zur Ebene E mit der
Gleichung
4 x + 3 y +5 z = 15 die beiden Parallelebenen F1 und F2
im Abstand d = wurzel (2) von E., indem wir auf der
senkrechten Geraden s auf E durch den Punkt P ( 0 / 5 / 0 )
nach beiden Seiten der Ebene je eine Strecke der Länge
a = wurzel (2) abtragen. Die Endpunkte seien U und V.
Ausführung:
Mit t als Parameter kann die Gerade s so dargestellt werden:
x = 0 + t * 4 / wurzel (50)
y = 5 + t * 3 / wurzel (50)
z = 0 + t * 5 / wurzel (50)
Der Richtungsvektor von s ergibt sich aus den Koeffizienten
der Ebenengleichung E ;
die Wurzel im Nenner macht ihn zum Einheitsvektor.
Für t wählen wir die Werte plus bezw. minus wurzel(2),
und wir erhalten die Endpunkte U bezw. V , nämlich
U ( 4/5 ; 28/5 ; 1 ) , V ( - 4/5 ; 22/5 ; - 1 )
Daraus erhalten wir die Gleichungen der Parallelebenen:
F1: 4x + 3y + 5z = 16/5 + 84/5 +25/5 = 25
F2: 4x + 3y + 5z = -16/5 + 66/5 - 25/5 = 5
Anm: das arithmetische Mittel der konstanten Glieder rechts ist 15
und stimmt mit der Konstanten rechts in der Gleichung von E überein.
Zum Abschluss schneiden wir die Ebenen F1 und F2 mit der
gegebenen Geraden g, und wir erhalten das frühere Resultat !
Gruss
H.R.Moser,megamath. |
linda
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. September, 2000 - 15:00: |
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Hilfe! Wer kann die folgenden Aufgabe lösen?
Forme die allg. Geradengleichung 3x - 5y = 2 in die Normalvektorform und die Parameterdarstellung um. |
TOm
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. September, 2000 - 23:35: |
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Such mal unter "Normalenvektor" in der Suchfunktion des Boards. |
Isabel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 05. November, 2000 - 16:55: |
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Hallo!Wer kann mir diese Aufgabe bis morgen lösen?
Bestimme die spurpunkte der ebene E:
x1+2x2-x3=4
Ich habe raus:
S1(4/0/0) S2(0/2/0) S3(0/0/-4)
2.)Verbindet man zwei Spurpunkte miteinander,so erhält man die spurgeraden der Ebene.Gib Parameterdarstellungen dieser Spurgeraden an.
3.)Spurgeraden verlaufen innerhalb der Koordinatenebenen.Geraden,die in einer Koordinatenebene liegen,lassen sich durch eine Koordinatengleichung beschreiben.Gib Koordinatengleichungen der Spurgeraden von E an!
Wie muss ich Aufgabe 2 und 3 rechnen?Bitte helft mir dabei! |
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