| Autor |
Beitrag |
    
Anita (Snowmouse)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 09:04: | 
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Hy Leutz,
ich hab eine blöde aufgabe:
"Ermitteln Sie den Anstieg und die Gleichung der tangente an f an der Stelle x0:
f(x) = 3/x + 1 ; x0 = 1/2 (einhalb)
die 1. Formel die ich hab ist foldende:
f(x0 + h) daraus muss ich dann das Ergebnis in die Formel eingeben:
f(x0 + h) - f(x0) / h.
Nun meine Frage: Wie setze ich das ganze ein? für x0 die 1/2 oder 3/x + 1?
Danke danke für die Hilfe!
Könnt ihr mir den Weg so halbwegs erklären, wie ich vorangehe? |
Gandalf (Gandalf)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 09:38: |
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Leite die Funktion einfach doch ab!
f(x) = 3/x + 1 ®
f'(x) = (3/x)' + 1'® f'(x) = ((3'*x - 3*x')/ x^2) + 0 ®f'(x)= (0-3)/x^2 ® f'(x)= -3/x^2
f'(x)=-3/x^2 wäre die Gleichung!
x= x0 = 1/2®
f'(x0)=-3/((1/2)^2) ® f'(x0)= -12 ,und -12 wäre der anstieg, nun weiß ich nicht ob ihr Ableitungen schon durchgenommen habt! |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 01:47: |
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Hi Anita
Du sollst wohl die Frage mit Hilfe des Differenzenquotienten beantworten und nicht mit Ableitungsregeln:
Die Sekantensteigung ms ist der Differenzenquotient
ms = ( f(x0 + h) - f(x0) ) / h : jetzt setzt Du f(x0+h) = 3/(x0+h) + 1 und f(x0) = 3/x0 + 1 ein:
ms = [ 3/(x0+h) + 1 - (3/x0 + 1) ] / h
= [ 3/(x0+h) + 1 - 3/x0 - 1 ] / h
= ( 3/(x0+h) - 3/x0 ) / h
jetzt musst Du die Brüche im Zähler auf den Hauptnenner (x0+h)*x0 bringen:
ms = ( 3*x0/[(x0+h)*x0] - 3*(x0+h)/[(x0+h)*x0] ) / h
= { ( 3*x0 - 3*(x0+h) ) / [(x0+h)*x0] } / h/1
h wird als h/1 geschrieben, da man statt damit zu teilen mit dem Kehrwer 1/h malnehmen kann:
ms = { ( 3*x0 - 3*(x0+h) ) / [(x0+h)*x0] } * 1/h
= ( 3*x0 - 3*x0 -3*h ) / [h*(x0+h)*x0]
= (-3*h) / [h*(x0+h)*x0] (jetzt h kürzen!)
ms = -3 / [(x0+h)*x0]
Jetzt lässt man h gegen null gehen (den Grenzwert bzw. limes für h ® 0 bilden):
limh ® 0 ms = limh ® 0 -3 / [(x0+h)*x0]
= -3 / x02
Das ist die Tangentensteigung mt in x0 und heisst auch (erste) Ableitung f '(x0) von f oder Differenzialquotient.
Setzt Du x0 = 1/2 ein, dann erhältst Du
mt = f '(1/2) = -3 / (-1/2)2 = -3 / (1/4) = -3*4/1 = -12
ciao
lnexp |
Lnexp (Lnexp)
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 01:53: |
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Hi Anita
Du sollst wohl die Frage mit Hilfe des Differenzenquotienten beantworten und nicht mit Ableitungsregeln:
Die Sekantensteigung ms ist der Differenzenquotient
ms = ( f(x0 + h) - f(x0) ) / h : jetzt setzt Du f(x0+h) = 3/(x0+h) + 1 und f(x0) = 3/x0 + 1 ein:
ms = [ 3/(x0+h) + 1 - (3/x0 + 1) ] / h
= [ 3/(x0+h) + 1 - 3/x0 - 1 ] / h
= ( 3/(x0+h) - 3/x0 ) / h
jetzt musst Du die Brüche im Zähler auf den Hauptnenner (x0+h)*x0 bringen:
ms = ( 3*x0/[(x0+h)*x0] - 3*(x0+h)/[(x0+h)*x0] ) / h
= { ( 3*x0 - 3*(x0+h) ) / [(x0+h)*x0] } / h/1
h wird als h/1 geschrieben, da man statt damit zu teilen mit dem Kehrwer 1/h malnehmen kann:
ms = { ( 3*x0 - 3*(x0+h) ) / [(x0+h)*x0] } * 1/h
= ( 3*x0 - 3*x0 -3*h ) / [h*(x0+h)*x0]
= (-3*h) / [h*(x0+h)*x0] (jetzt h kürzen!)
ms = -3 / [(x0+h)*x0]
Jetzt lässt man h gegen null gehen (den Grenzwert bzw. limes für h ® 0 bilden):
limh ® 0 ms = limh ® 0 -3 / [(x0+h)*x0]
= -3 / x02
Das ist die Tangentensteigung mt in x0 und heisst auch (erste) Ableitung f '(x0) von f oder Differenzialquotient.
Setzt Du x0 = 1/2 ein, dann erhältst Du
mt = f '(1/2) = -3 / (-1/2)2 = -3 / (1/4) = -3*4/1 = -12
ciao
lnexp |
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