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Beitrag |
    
Bernd (Smitty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 08:25: | 
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Guten Morgen,
ich hänge an 2 Differentialgleichungen, aus denen ich leider nicht so schlau werde.
1) ycosx -sinx+sinxy´= 0
Ferner gilt: y(1) = 0, Berechne y(2)
2) -xy´+2y = -x cosx + 2sinx
Ferner gilt: y(0) = 0, Berechne y(2) |
Fern
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 17:26: |
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Hallo Bernd,
Die erste Aufgabe:
y*cos(x)-sin(x)+sin(x)*y' = 0
====================0
Differenzialgleichung erster Ordnung:
Wir bringen sie auf die Form y' +p(x)*y) = g(x)
y' + cot(x)*y = 1 ........ [1]
===============
Die Lösung lautet dann:
y(x) = 1/µ(x)*ò µ(x)*g(x)*dx
wobei µ(x) = exp(ò p(x) dx)
============
für unser Beispiel:
g(x) = 1
µ(x) = exp(ò cot(x) dx = exp (ln(sin(x))) = sin(x)
dies ist ein "integrierender Faktor" mit dem wir [1] multiplizieren:
(anstatt in die Formel einzusetzen, weil es so verständlicher ist)
sin(x)*y' + cos(x)*y = sin(x)
sin(x)*y' + cos(x)*y = (sin(x)*y)' = sin(x)
sin(x)*y = ò sin(x) = -cos(x) +C
y(x) = -cos(x)/sin(x) + C/sin(x) ...... allgemeine Lösung von [1]
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Jetzt Randbedingung: y(1) = 0
0 = -cos(1)/sin(1) + C/sin(1)
C = cos(1)
y(x) = -cos(x)/sin(x) + cos(1)/sin(x) ...... Partikularlösung von [1]
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y(2) = -cos(2)/sin(2) + cos(1)/sin(2) = 1,0518....
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Mit Gruß, Fern |
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