| Autor |
Beitrag |
    
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 13:08: | 
|
Hiermit komme ich auch nicht klar:
Beweise die Rekursionsformel
Bn;p (k+1) = n-k/k+1 * p/1-p * Bn;p (k)
Bilde dazu den Qutienten Bn;p (k+1) : Bn;p (k)
Berechne B30;0,04 (0) auf 5 dezimalen gerundet!
Ermittle mit Hilfe von b) und der angegebenen Rekursionformel die Wahrscheinlichkeiten
B30;0,04 (k) für k=1;2;3
Wozu brauche ich diese Rekursionformel überhaupt? Da blick ich nun überhaupt nicht durch!
Wäre echt super,wenn mir jemand helfen könnte!!!
Gruß Flo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 16:54: |
|
Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable, eben B(n,p).
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion dafür ist
f(x) = (nx) * px * (1-p)n-x
Aus der Definition der Binomialkoeffizienten folgt:
(nx+1) = (n-x)/(x+1) * (nx)
=> f(x+1) = (nx+1) * px+1 * (1-p)n-x-1
= (n-x)/(x+1) * p/(1-p) * (nx) * px * (1-p)n-x
Fertig.
Was die Formel bringt? Man kann damit relativ leicht B(30,0.04) ausrechnen. Wenigstens war das zu Zeiten, als noch nicht jeder Taschenrechner das auch konnte, interessant.
Gruß
Matroid |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 14:33: |
|
Vielen Dank für deine Hilfe Matroid!!!
Gruß Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 12:02: |
|
Tut mir leid, aber deine Erklärung versteh ich nicht ganz, wieso benutzt du eine Wahescheinlichkeitsfunktion? In der Aufgabe heißt es doch "bilde den Quotienten
Bn;p (k+1)/Bn;p (k)"
Wenn ich den bilde bekomme ich heraus:
Bn;p (k+p)/Bn;p (k) =
[(n über k)*p "hoch k+1" * (1-p)"hoch n-k-1"]/
[(n über k)*p "hoch k" + (1-p) "hoch n-k"]
Aber wie rechne ich da nun weiter??
Dann zu b):
Wie setze ich denn bitte B30;0,04 (0) in diese Formel ein?
Ich habe es so versucht:
B30;0,04 (1)= 30/1 * 0,04/0,96 * B30:0,04 (0)
dann bekomme ich aber heraus:
0,37 ~ 0,03
Und das kann ja nicht stimmen!!!
Genaus so bei dieser Aufgabe, da weiß ich auch nicht, wie ich diese Formel benutzen muß, was ich für welchen Parameter einsetze:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter 500 Personen mindestens 2 am 1. Januar Geburtstag haben, wenn man annimmt, dass die Geburtsdaten gleichmäßig über das ganze Jahr verteilt sind? Benutze die Rekursionsformel!
Ich würde jetzt sagen:
n=500; k=2; p=1/365 ???
Aber auch hier wieder: Wie setzte ich das in diese Formel ein???
Gruß Flo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 12:17: |
|
B(n,p) ist eine Binomialverteilung.
n und p sind gegeben.
Die W'keit, daß das Ereignis mit Einzelwahrscheinlichkeit p bei n-maliger Ausführung genau k mal auftritt ist B(n,p)(k).
Die Wahrscheinllichkeitsfunktion B(n,p)(k) habe ich als f(k) bezeichnet (denn n und p sind ja hier als fest gegeben anzusehen).
Nun zur Anwendung der Rekursion:
B(n,p)(k+1) = (n-k)/(k+1) * p/(1-p) * B(n,p)(k)
bzw.
f(k+1) = (n-k)/(k+1) * p/(1-p) * f(k)
Anfangsbedingung für die Rekusion:
f(0) = (1-p)n
= 0.9630 = 0.29386
=> f(1) = (n-1)/2 * p/(1-p) * f(0)
Mit p=0.04 und n=30
=> f(1) = 29/2 * 0.04/0.96 * 0.29386 = 0.17754
usw. für f(1) und f(2). |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 13:55: |
|
Sorry! Habe aber schon wieder eine Frage:
Warum ist die Anfangsbedingung für die Rekursion
f(0)=(1-p)"hoch n"?????? |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 14:03: |
|
f(0) ist die W'keit, daß das Ereignis bei 30 Versuchen 0-mal auftritt.
Das ergibt sich, wenn man in die Wahrscheinlichkeitsfunktion für k die 0 einsetzt. |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 16:48: |
|
Verstehe, du hast einfach nur noch das hingeschrieben, was übrig bleibt von
(30 über 0)*0,04°*(1-p)"hoch 30-0)
OK, vielen Dank!
Nur eine Frage noch, muß man diese Rekursionsformel immer in der "Funktionenschreibweise" anwenden oder kann man sie auch so benutzen, wie sie da steht? Allerdings müßte man dann ja immer erst die B in der Tabelle nachschaun, bzw ausrechnen und einfach dann nur noch hinschreiben oder wie?
Was mir auch noch nicht ganz klar ist, wenn ich doch B30;0,04 (0) berechnen soll, bekomm ich doch aber mit dieser Formel das Ergebnis für
B30;0,04 (1) heraus. Oder ist das der Sinn der Sache?
Gruß Flo |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 17:23: |
|
Du hast dich glaub ogen verschrieben, es heißt doch dann f(k+1)=n-k/k+1 ....
da hast du n-k/k+1
Meine Ergebnisse lauten nun:
k=0 0,36732
k=1 0,22951
k=2 0,08925
k=3 0,02510
Bei der Geburtstagsaufgabe:
f(2)=0,23888
Gruß Flo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 17:38: |
|
Um die Rekursion anzuwenden benötigt man auf jeden Fall den Wert für k=0, sonst kann man ja nicht f(k+1) = irgendwas * f(k) rechnen.
Ob man B(n,p)(k) oder f(k) schreibt ist ganz egal. Beides meint das gleiche.
B(n,p) ist doch auch eine Funktion.
Du kannst B(n,p)(0) nicht mit der Rekusion berechnen. Diesen Wert musst Du direkt ausrechnen. Dann kannst Du B(n,p)(k) für alle k>0 schrittweise mit der Rekursionsformel ausrechnen.
Wenn ich mich verschrieben habe, dann hast Du es auch:
Quote:es heißt doch dann f(k+1)=n-k/k+1 ....
da hast du n-k/k+1
Wo ist da der Unterschied?
Für k=0 hatte ich 0,29... heraus, nämlich 0.9630.
Überprüf doch mal, wer recht hat.
Gruß
Matroid |
flo (Flo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 21:00: |
|
Aber wenn ich das doch mit dieser Formel rechne sieht das bei mir so aus:
k=0: f(0+1)=30* 0,04/0,96 * 0,96 "hoch 30"
k=1: f(1+1)=29/2 * 0,04/0,96 * f(1)
usw.
Logischerweise würde ich es auch so machen wie du, für z.B. k=0 dann:
B30;0,04 (0) und das dann ausrechnen oder in der Tabelle nachschaun!
Denn diese Formel find ich dumm und viel umständlicher.
Gruß Flo |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 21:11: |
|
Moment:
f(k+1) = (n-k)/(k+1) * p/(1-p) * f(k)
also
f(0+1) = (30-0)/(0+1) * 0.04/0.96 * f(0)
Ja, du hast recht. Ich hatte mich mit dem k vertan. |
|
