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Beitrag |
    
Joachim
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 17:31: | 
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Bitte, bitte helft mir bei diesen Aufgaben!!!
Man löse allein durch Substitution folgende Integrale:
a) ò x3 * (x2 + a2)-1/2 dx
b) ò x2 * [(2 + x)4]-1/2 dx
c) ò x-4 * (1 + x2)-1/2 dx
Wie schon gesagt: Partialbruchzerlegung und partielle Integration sind tabu.
Es kann sein, daß man mithilfe von trigonometrischen oder hyperbolischen Funktionen substituieren muß.
Joachim |
superknowa
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 04:49: |
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a) Substitution: u = x2 + a2 (Þ x2 = u - a2)
u' = 2x
I = ò x3/Ö(x2 + a2) dx = ò x3/Ö(u) * 1/(2x) du = ò x2/(2Ö(u)) du = ò ( u - a2 )/(2Ö(u)) du = ò ( Ö(u) / 2 - a2 / (2Ö(u)) ) du =
... = [ 1/3 * (x2 + a2)3/2 - a2 * (x2 + a2)1/2 ] |
superknowa
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 04:53: |
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b) [(2+x)4]-1/2= (2+x)2; dann Substitution u = x + 2
c) weiss noch nicht |
Joachim
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 15:12: |
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Ich habe da noch eine:
ò x*Ö(x-1)/Ö(x+1) dx
Ebenso wie bei den vorausgegangenen Aufgaben ist nur die Lösung durch Substitution zulässig.
Wäre dankbar für eine Antwort.
Joachim |
Markus
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 15:54: |
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Hallo,
mit (1+x2 )-½ = (2x2 -1)*(4x6 -3x2 +1)-½ (#)
(vgl. z.B. Maple: factor( (2*x^2 -1)*(4*x^6 -3*x*x +1)^(-1/2) ); )
folgt für
I= ò x-4 * (1+x2 )-½ dx
= ò x-7 * x3 * (2x2 -1)*(4x6 -3x2 +1)-½ dx
= ò x-7 * (2x2 -1)*( (4x6 -3x2 +1)/x6 )-½ dx
= ò x-7 * (2x2 -1)*( 4 -3x-4 +x-6 )-½ dx
Und mit Substitution u=4 -3x-4 +x-6
=> du/dx = 12x-5 -6x-7 = 6x-7(2x2-1)
=> x-7(2x2-1) dx = du/6
=>
I = ò u-½/6 du
= u½/3, rücksubst =>
= (4 -3x-4 +x-6 )½/3
=============
Wenn man will, kann man dies mit Hilfe von (#) noch umformen:
aus (#) (1+x2 )-½ = (2x2 -1)*(4x6 -3x2 +1)-½ folgt:
(4x6 -3x2 +1)½ = (2x2 -1)*(1+x2 )½ | * (x-6)½
(4x-6 - 3x-4 + x-6)½ = (2x2 -1) * (1+x2 )½ *x-3
also
I = (2x2 -1) * (1+x2 )½ /(3x3)
=======================
superknowa, ich habe gesehen, dass du auch andere gute Antworten gibst, hast du auch Ahnung von Stochastik?
-> http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/9308/18510.html |
Joachim
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. August, 2001 - 15:38: |
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Könnte sich vielleicht jemand noch um die letzte verbliebene Aufgabe kümmern?
Ich wäre sehr dankbar für eine Antwort.
Joachim |
superknowa
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 05:27: |
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Kannst Du die nochmal ohne künstlerischen Bruch hinschreiben?
Meinst Du
I = ò x*Ö(x-1) / Ö(x+1) dx ? |
Joachim
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. August, 2001 - 20:43: |
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Ja, die hat sich aber derweil erledigt. Inzwischen habe ich mich an einer viel schwierigeren festgebissen:
ò (1 + tan(x))/(1 - tan(x)) dx
Die macht mich fast wahnsinnig!
Joachim |
superknowa
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 02:00: |
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Hi Joachim; schreib doch bitte mal in kurzen Worten hin, wie Du die mit den zwei Wurzeln gelöst hast.
ciao
sk |
Markus
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 03:06: |
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Hallo Joachim
die ist eigentlich ganz leicht, die schreit nämlich geradezu nach Substitution:
Erweitern mit Kosinus:
(1+tanx)/(1-tanx) = (cosx+sinx)/(cosx-sinx), substituiere den Nenner:
u=cosx-sinx => du/dx = -sinx -cosx => dx = -du/(sinx+cosx)
=> ò(1 + tan(x))/(1 - tan(x)) dx
= ò(sin(x) + cos(x))/(sin(x) - cos(x)) dx
= ò(sin(x) + cos(x))/ u *(-du/(sin(x) + cos(x)))
= ò -1/u du
= -ln(u)
= -ln(cos(x)-sin(x))
und wieder mit tan:
= -ln[ (1-tan(x)) / Ö(1+tan²(x)) ]
mehr Tangens geht nicht *g*
Viel brennender interessiert mich aber jetzt die Lösung der Aufgabe vom 17. August,
die hat mich nämlich fast wahnsinnig gemacht.
Ich schließe mich der Aufforderung von superknowa an, es reichen schon ein paar stichpunktartige Hinweise,
wenn du nicht alles eintippen willst, ich werde schon nachfragen, wenn noch was unklar ist.
@ superknowa, interessehalber:
Kannst du die klein geschriebene Formel schlecht lesen oder weshalb die Nachfrage nach der Schreibweise?
Grüße
Markus |
Joachim
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. August, 2001 - 10:03: |
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Bin mir da inzwischen auch nicht mehr so sicher...
ò x*Ö(x-1)/Ö(x+1) =
ò x*Ö(x-1)2/Ö(x2-1) = x2/Ö(x2-1) + x/Ö(x2-1)
Das erste Teilintegral ist nun:
ò x2/Ö(x2-1) dx.
So viel ich weiß muß man bei Ausdrücken der Form ò f(x; Ö(x2-a2)) folgendermaßen substituieren:
x = a*cosh(z) Þ Ö(x2-a2) = a*sinh(z); dx = a*sinh(z)*dz
Das zweite Teilintegral lautet:
ò x/Ö(x2-1)
Man substituiert z = x2-1 ; dx = 2x*dz
Mit 2 kann man ja im Integral multiplizieren und vor das Integral 1/2 schreiben.
Man hat dann einen Ausdruck der Form:
ò dz/Öz, den man ja als Grundintegral kennt.
Ich hoffe, daß ich nicht gerade vollkommenen Schwachsinn geschrieben habe. (vielleicht ist auch alles falsch...)
Joachim |
superknowa
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 07:24: |
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Die Erweiterung mit der Wurzel, da kam ich nicht drauf (nur muss da in der Zeile von dem 2. Integralzeichen nach dem = ein minus-Zeichen zwischen den Ausdrücken stehen). Ich probiers mal mit Deiner Idee...
superknowa |
superknowa
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 07:32: |
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Die kleingeschriebene Formel hab ich als x hoch gesehen. |
Joachim
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 08:37: |
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@Markus:
Wie bist Du auf die komplizierte Faktorisierung in Aufgabe c) gekommen? Hast Du dir die mit Maple ausrechnen lassen? Gibt es nicht vielleicht noch einen unkomplizierteren Weg, z.B. mehrmals hintereinander substituieren?
@Superknowa:
Beim Ausrechnen des Integrals ò x2/Ö(x2-1) dx wird ein Ausdruck der Form ò cosh2(z) dz auftauchen, der sich nicht unmittelbar, aber sehr wohl nach einer Umformung berechnen läßt:
cosh2(z) = 1/2*cosh(2x) + 1/2 und dann kommt wieder die obligatorische Auswertung durch Substitution.
Joachim |
Markus
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. August, 2001 - 13:40: |
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Hi Joachim:
Ich habe natürlich gemogelt und mit einem in meinem Aufschrieb nicht mehr so offenbaren Trick gearbeitet, indem ich das Tabu verletzt und deinen Ausdruck erstmal partiell integriert habe.
Mit meiner DEMO-Version von Maple habe ich das allerdings nicht erhalten können, die
reicht gerade mal dazu aus, einige Schreibarbeit einzusparen, also z.B. den von mir
angegebenen Term nicht per Hand ausmultiplizieren zu müssen.
Nach allen Befehlen, die einem echte Denkarbeit ersparen könnten,
kommt die Meldung "... ist not supported in the Demo Version".
Also partiell integriert, indem die Stammfunktion von x-4 gebildet wird,
und im verbleibenden Integral die Ableitung von (x²+1)-½ steht.
Das verbleibende Integral kann dann mit Bronstein Nr. 211 gelöst werden.
Nach Rationalmachen des Nenners und kürzen ergibt sich der Ausdruck
(2x2 -1)² * (1+x2 )½ /(3x3)
Diese erhaltene Lösung habe ich dann als Ausgangspunkt für den "Ableitungsweg" genommen,
den ich in einen Integrationsweg umgekehrt und dir dann als Antwort auf deine Frage
präsentiert habe.
Um die Aufgabenstellung "nur per Substitution" zu erfüllen, muss dies am besten so abgeleitet
werden, dass dabei nur die Kettenregel benutzt wird, die Produktregel aber nur innerhalb der
Kettenregel vorkommt und nie separat, d.h., die Stammfunktion darf nicht aus mehreren Faktoren
bestehen, sonst wäre Produktregel nötig, die dann bei ihrer Umkehrung die partielle Integrationsmethode notwendig macht. Man kann die Produktregel aber innerhalb der Kettenregel ganz gut mit verstecken, solange diese wirklich nur "innerhalb" dieser vorkommt.
Kehrt man dann den Ableitungsweg in den Integrationsweg um, benutzt man an keiner Stelle die partielle Integration, aber man kann hat die Umkehrung der Produktregel gut in der Substitution mit eingebaut.
Bevor ich also den Ableitungsweg gegangen bin, musste der Ausdruck erst in einen Term
umgewandelt werden, der äußerlich kein Produkt ist.
Und damit ergab sich ganz automatisch, dass man aus dem Term (2x2 -1)² * (1+x2 )½ /(3x3) den Term (4 -3x-4 +x-6 )½/3 erhält.
Der ist der äußeren Form nach kein Produkt, also ist schon mal sichergestellt, dass man beim
Ableiten auf die Produktregel verzichten kann. Also kann man auch darauf verzichten, beim
umgekehrten Weg partiell zu integrieren.
Ausgenutzt wurde dabei letztendlich die Identität (x^2+1)*(2*x^2-1)^2=4*x^6-3*x^2+1
Ob man auch "eleganter" integrieren kann, weiß ich leider nicht.
Danke für den Lösungshinweis zur Aufgabe vom 17. August
Gruß Markus |
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