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Beitrag |
    
Lea
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. August, 2001 - 15:45: | 
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brauche bis heute abend oder morgen früh ganz dringend diese aufgabe!schonmal danke im voraus!!
f(x)=x³
Berechne den Inhalt der Fläche unter dem Graphen der Funktion f über dem intervall [0;2] als Grenzwert von Ober-und Untersummen Sn(strich oben) und Sn (strich unten).
verwende folgende Summenformel dazu:
1³ + 2³ + 3³ + .....+m³=1/4m²*(m+1)²
DANKE!!!! |
Andreas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 09:24: |
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Hi Lea!
Du musst den Flächeninhalt unter der Kurve
durch Rechtecke mit gleichlanger annähern.
Bei n Rechtecken beträgt dann die Länge der
Grundseite jeweils 2/n
Der Flächeninhalt eines Rechtecks ist damit
2/n*f(x). Du musst nun alle einzelnen Rechtecks-
inhalte addieren.
Bei der Untersumme fängst du dabei mit f(x0) an,
bei der Obersumme mit f(x1)
Untersumme:
Sn=2/n*f(0)+2/n*f(2/n)+2/n*f(2*2/n)+2/n*f(3*2/n)+ ... +2/n*f((n-1)*2/n))
=2/n*(f(0)+f(2/n)+f(2*2/n)+f(3*2/n)+...+f((n-1)*2/n))
=2/n*(0+(2/n)^3+(2*2/n)^3+(3*2/n)^3)
=(2/n)^4*(0+1^3+2^3+3^3+...(n-1)^3)
Für das m in der Summenformel setzen wir nun n-1
ein:
1^3+2^3+3^3+...+(n-1)^3^=1/4(n-1)^2*(n-1+1)^2
=1/4n^2*(n-1)^2
Das setzen wir in den Ausdruck von oben ein:
Sn=(2/n)^4*1/4n^2*(n-1)^2
=16/n^4 *1/4n^2*(n-1)^2
=16*1/4*(n^2*(n-1)^2)/n^4
=4*(n-1)^2/n^2
Lässt man nun n gegen Unendlich gehen, so ist der
Grenzwert für Sn (Untersumme) =4
Die Obersumme geht genauso, nur dass du f(0)
in obiger Rechnung weglässt und dafür bis f(2) gehst. (Es muss das gleiche Ergebnis wie bei
der Untersumme herauskommen.)
Ciao, Andreas |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 09:30: |
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hi Lea,
das ergebnis dieser aufgabe ist unwichtig.
bekanntlich ist naemlich die stammfunktion von x^3: 1/4*x^4. die an den grenzen 2 und 0 ausgewertet fuehrt zum ergebnis 4. aber das wollten wir ja gar nicht wissen, denn das ziel der aufgabe ist es offenbar, das Riemannsche Integral zu verstehen.
also:
1) du musst zuerst das intervall [0,2] in n gleichgrosse teilstuecke zerlegen:
x_i = i*2/n; i e{0,1,2,..,n}
2) das teilstueck l_i hat jetzt die laenge x_i - x_(i-1)= 2/n. um daraus ein flaechenstueck zu basteln, muss diese strecke mit einer strecke in y multipliziert werden (flaeche des rechtecks). die y-strecke ist aber gerade der funktionswert von f(x)
3) weil die funktion monoton waechst, wird die untersumme gebildet, indem der funktionswert am linken ende des teilstuecks ausgewertet wird. die obersumme am rechten ende.
4) damit erhalten wir, fuer die obersumme
Sn(strich oben)= summe_(i=1,n)[l_i*f(x_i)] = summe_(i=1,n)[(2/n)*(i*2/n)^3] =
(2/n)^4*summe_(i=1,n)[i^3]
5) fuer die untersumme wird entsprechend Sn(strich unten)= summe_(i=1,n)[l_i*f(x_(i-1))] verwendet.
6) jetzt kannst du deine summenformel anwenden.
7) das integral bzw. der grenzwert wird gebildet, indem im ergebnis fuer ober- bzw. untersumme lim_(n->oo) bestimmt wird.
ich hoffe diese hinweise reichen dir,
viele gruesse mrsmith. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. August, 2001 - 09:33: |
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tja Andreas, da warst du wohl ein bisschen schneller als ich! (wenigstens widersprechen wir einander nicht.) gruss mrsmith |
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