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Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 12:34: | 
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Hi Leute,
Wir besprechen in der Schule gerade die Vollständige Induktion als Beweisverahren und haben dazu folgende Hausaufgabe aufbekommen.
Beweise: 1*2 + 2*3 + 3*4 + 4*5 +...+ n*(n+1) = 1/3 * n * (n+1) * (n+2)
Induktionsverankerung: A(1) = 1*2 = 2
außerdem 1/3 * 1 * 2 * 3 = 2 = A(1) => A(1) ist wahr
Induktionsschluss: A(n) => A(n+1) <=> A(n+1) = 1/3 * (n+1) * (n+2) * (n+3)
Beweis: A(n+1) = A(n) + (n+1) * (n+2) = 1/3 * n * (n+1) * (n+2) + (n+1) * (n+2)
<=> A(n+1) = 1/3 * (n+1) * (n+2) * (n+3)
qed
Allerdings ist mir aufgefallen, dass das Ganze auch einfacher geht, ohne Induktion:
1*2 + 2*3 + 3*4 +...+ n*(n+1) = Sn i=1 i*(i+1)
= Sn i=1 i²+i = Sn i=1 i² + Sn i=1 i
(Diese Umformung ist durchführbar nach dem Distributivgesetz !?)
Somit hätte man das Problem auf zwei bekannte Summen zurückgeführt. Nach Einsetzen und Umformen ergibt sich das gleiche Ergebnis wie oben.
Welcher Beweis ist vorzuziehen und sind sie auch richtig durchgeführt?
lg |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 12:47: |
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Hi Xell
Ist wohl Geschmacksache, was da vorzuziehen ist. Ich finde beide Beweise total richtig durchgeführt, und da ist mal ein gut ausgeführter Induktionsbeweis zu sehen. Natürlich muss man die beiden Summen am schluss des zweiten Beweises auch schon mal (mit Induktion) berechnet haben.
ciao
sk |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 12:54: |
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Dazu fällt mit noch was kurioses ein:
Behauptung: alle natürlichen Zahlen sind gleich.
Beweis:
A(n): "Sind n natürliche Zahlen gegeben, so sind sie alle gleich"
Induktionsanfang oder -Verankerung:
A(1) ist offenbar richtig
Induktionsschritt oder -Schluss:
Es gelte A(n). Sind (n+1) natürliche Zahlen a1,a2,...,an,an+1 gegeben, so ist nach Induktionsannahme a1=a2=...=an und a2=...=an=an+1.
Daraus folgt A(n+1): a1=a2=...an=an+1
Wo steckt der Fehler ? |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 13:24: |
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Hi superknowa,
A(n): "Sind n natürliche Zahlen gegeben, so sind sie alle gleich"
Dies muss nicht gelten. Sind etwa die ersten n Zahlen gegeben,
dann sind sie alle unterschiedlich. :-)
lg von mir |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 13:51: |
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Natürlich ist die Behauptung falsch; aber wo steckt der Fehler im Induktionsbeweis? |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 15:42: |
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Hi superknowa,
Ich vermute mal ganz stark, dass der Fehler im Ind.schluss liegen
muss.
Es liegt wohl daran:
"a2 = a3 = ... = an+1"
Weil hier zwar nur n Zahlen betrachtet werden, allerdings
n+1 Zahlen gegeben sein müssen, was A(n) widerspricht.
Wenn man jetzt behauptet, man müsse einfach die Indizes verändern,
um A(n) nicht zu widersprechen, so liegt man auch auf dem Holzweg,
da man dann keinen Schluss, sondern eine Tautologie hätte.
Oder bin ich hier auf dem Holzweg? :-)
lg, Xell |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 15:48: |
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Hi Xell
ehrlich gesagt bin ich mir auch nicht ganz sicher; ich könnte mir vorstellen, es liegt an der Transitivität von "=" im Induktionsschluss; diese kommt im Induktionsanfang gar nicht vor (da wird ja nur eine Zahl mit sich selbst verglichen).
ciao
Ps: was bedeutet "lg" |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 16:13: |
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Hi superknowa,
Man kann m.H. deines Gedankens leicht zeigen, dass die Behauptung
falsch sein muss. Man beginne einfach mit der Verankerung
A(2). Diese müsste ja auch gelten, wenn man durch A(1) den Beweis
führen kann. Die Lösungsmenge wäre dann lediglich um ein Element
kleiner. Allerdings funktioniert die Verankerung mit A(2) und
allen A(k); k>2 nicht, da es keinen Grund gibt, wieso k beliebige
Zahlen gleich sein sollten.
Daran liegt denn wohl auch das Funktionieren des Beweises:
Die Verankerung funktioniert nicht ! Für A(1) auch nur scheinbar,
wie du schon angedeutet hast.
Allerdings halte ich, wie im letzten Posting schon beschrieben,
auch den Ind.schluss für widersprüchlich.
Es gibt hier also m.E. wenigstens zwei Gründe, die
den Beweis scheitern lassen.
Liebe Grüße |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 16:26: |
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Yeah
eine Frage: kennst Du oder jemand anders eine Behauptung A(n), bei der der Induktionsschluss korrekt klappt, aber die Aussage für kein n in |N erfüllt ist ?
ciao
superknowa |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 16:48: |
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Hi superknowa,
Ich weiß zwar nicht genau, ob man dies zur Vollständigen Induktion
hinzu zählen kann, aber hast du schonmal was von Fermats Prinzip
vom unendlichen Abstieg gehört? Damit wird etwa der Fall für n=3 der
Fermat'schen Vermutung bewiesen. Man geht zuerst davon aus, es gäbe
eine Lösung und zeigt dann, dass es folglich immer eine weitere
Lösung geben muss. Dies widerspricht allerdings dem Aufbau der
natürlichen Zahlen, da es eine kleinste natürliche Zahl
gibt und somit die Lösungen nicht beliebig klein werden können.
Unter der Annahme, dass es eine Lösung gibt, folgt also eine
(und somit unendlich viele) weitere Lösung(en). Da es aber
keine Lösung geben kann, funktioniert die Verankerung nicht.
Ich hoffe, das ist ungefähr das, was du gesucht hast. Außerdem
handelt es sich bei Fermats Prinzip eher um eine Widersprichsmethode
als um Induktion.
lg
P.S.: Wenn du willst, kannst du dir mein neuestes Problem mal ansehen,
das übrigens eng verbunden ist mit der Hausaufgabe. :-)
Anm.: Fermats Vermutung besagt, dass es keine Lösungen (a,b,c) aus IN\{0}gibt,
die die Gleichung a^n+b^n=c^n erfüllen, für n aus IN und n>2.
Sie wurde 1994 durch Andrew Wiles nach über sieben Jahren intensiver
Arbeit und fast 250-jähriger Vorarbeit bewiesen. Hierzu empfehle
ich das Buch "Fermats letzter Satz" von Simon Singh. |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 16:51: |
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Achso, hier noch der Link zur neuen Aufgabe... |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 17:43: |
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In http://www.univie.ac.at/future.media/mo/materialien/matroid/files/vi/vi.html#3 gibt es das "Falsche Beispiel 2".
Die Behauptung ist: "Wenn sich unter n Tieren ein Elefant befindet, dann sind alle diese Tiere Elefanten."
Der vorgeführte Induktionsschluß dieses "Beweises" ist richtig für n>=2. Aber man kann die Verankerung für n=2 nicht zeigen.
Gruß
Matroid |
Matroid (Matroid)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 17:51: |
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Das gleiche Problem hat der "Beweis" von superknowa.
Es gilt A(1). Es gilt A(n)=>A(n+1) für n>=2.
Z.B. für n=2 ist der Induktionsschluß ok, denn dann hat man für n+1=3 Zahlen. Davon kann man die ersten beiden (n=2) nehmen und stellt fest, daß sie gleich sind. Dann nimmt man die letzten beiden und stellt auch fest, daß sie gleich sind.
Und weil die mittlere Zahl in beiden Fällen vorkommt, sind auch alle 3 Zahlen gleich.
Für n=1 funktioniert der Induktionsschluß nicht, denn man hat dann zwei mal eine Zahl und kann man kann aus die Gleichheit der ersten n=1 Elemente und der Gleichheit der letzten n=1 Elemente nicht folgern, daß alle n=2 gleich sind. Die beiden Auswahlen mit n=1 haben hier nämlich kein Element gemeinsam. |
Tini
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 18:41: |
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Xell, zu Deinem Beweis, den Du heute ohne Induktion geführt hast... Sorry, das war zum Schluß lediglich eine andere Schreibweise mit anschließender Umformung! Du hast nur die linke Seite berücksichtigt! Leider kommst Du bei einem Beweis dieser Art- auch mit verschiedenen Schreibmöglichkeiten- nicht um eine Induktion herum! |
superknowa
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 19:04: |
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Bei
A(n): 2n+1 ist durch 2 teilbar
klappt auch der Induktionsschluss; es gibt aber kein n, das den Induktionsanfang erfüllt. |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. August, 2001 - 21:13: |
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Hi Tini,
Angenommen, Sn i=1 i² und Sn i=1 i sind beide bekannt.
Wozu sollte ich dann extra eine Induktion durchführen müssen,
um die Summe zu bilden ???
lg |
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