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verzweifelt
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juli, 2001 - 07:56: | 
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Wer kann mir helfen zu beweisen, dass
ln(x)< wurzel(x) ist? |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 26. Juli, 2001 - 09:37: |
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ich denke, dass es so am besten geht:
beide funktionen werden abgeleitet:
d/dx(ln(x)) = 1/x
d/dx(sqrt(x)) = 1/(2*sqrt(x))
beide ableitungen sind positiv fuer x > 0, (was ja
sowieso gelten muss).
nun gilt:
1/x < 1/(2*sqrt(x)) gdw (genau dann wenn)
(multiplikation mit 2*x>0)
2 < sqrt(x).
d.h. fuer x > 4 ist die ableitung der wurzel stets groesser als die ableitung des ln.
fuer x < 4 gilt umgekehrt 1/x > 1/(2*sqrt(x)).
wir betrachten nun die funktion
g(x) := sqrt(x) -ln(x), die den abstand der beiden funktionen angibt. sie hat nach dem vorhergehenden bei x=4 ein absolutes minimum. fuer g(4) gilt aber
g(4) = 2 -ln(4) > 0.
damit ist der abstand der beiden funktionen stets groesser 0 und bei x=4 ist wurzel(4) > ln(4).
(der haken bei der sache ist, dass man ln(4) nicht elementar bestimmen kann.)
viele gruesse mrsmith |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 27. Juli, 2001 - 02:32: |
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Zum vermeindlichen "Haken" : Man brauch doch ln(4) garnicht exakt berechnen. Es genügt die einfache Abschätzung
ln(4)=2ln(2)<2ln(e)=2=Ö4 |
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