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Beitrag |
    
Danou
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 15. Juli, 2001 - 19:20: | 
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Hallo!
Gegeben ist die Funktion in Polarform:
f(theta)=5-3sin(theta)
Gesucht ist die Mantelfläche des Rotationskörpers dieser Funktion.
Kann mir jemand helfen ?
Danou |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 17:03: |
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hi danou, dann musst du zunaechst mal helfen:
um einen rotationskoerper bilden
zu koennen erwarte ich eine kurve in einer
ebene, also zwei komponenten. hier sehe ich nur
eine komponente, eine funktion in IR.
um welche achse soll rotiert werden? das muesste
eine gerade in der ebene sein, in der die kurve
liegt.
gruss mrsmith |
UdoBerger
| | Veröffentlicht am Montag, den 16. Juli, 2001 - 17:40: |
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Hi mrsmith,
Das sind doch Polarkoordinaten!
Schon mal was davon gehört? |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 16:15: |
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hallo Danou, hallo Udo,
ok Udo, du hast es so gewollt:
zuerst schreiben wir t:=theta (ist kuerzer)
dann schreiben wir r(t):= f(t) = 5 - 3*sin(t).
... und dann muessen die polarkoordinaten weg.
in polarkoordinaten geht t von 0 bis pi.
die richtung mit t=0 (bzw. t=pi) nennen wir x.
die richtung mit t=pi/2 nennen wir y.
dann ist x(t)=r(t)*sin(t) und y(t)=r(t)*cos(t).
damit haben wir eine zweikomponentige parameterdarstellung der kurve in kartesischen koordinaten, und das ist gut so.
als naechstes wird defaultmaessig und die x-Achse rotiert.
die formel aus bronstein (in meiner ausgabe ist das im abschnitt 3.1.7.8) fuer die berechnung des "flaecheninhalts der mantelflaeche eines rotationskoerpers" ist durch die angegebene parameterdarstellung anwendbar.
notationen:
int_0^pi heisst integral von 0 bis pi (in anlehnung an das Textsatzsystem LATEX).
sqrt() heisst Quadratwurzel aus.
y' heisst dy/dt, ebenso x'=dx/dt.
S = 2*pi*int_0^pi [y(t)*sqrt(x'^2 + y'^2)]dt.
damit ist das problem formal geloest, die rechnerei geht aber erst los.
der entstehende koerper sieht ziemlich so aus wie ein zeppelin. laenge des zeppelin 10, maximaler radius 2. vielleicht gibt das ja einen hinweis, ob das ergebnis gut ist.
ach ja, Udo, warum hast Du eigentlich nicht diesen Tip gegeben?
viele gruesse mrsmith |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 16:21: |
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errata: statt x(t)=r(t)*sin(t) und y(t)=r(t)*cos(t)
muss es richtig heissen
x(t)=r(t)*cos(t) und y(t)=r(t)*sin(t)
nochmals viele gruesse mrsmith. |
UdoBerger
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 17. Juli, 2001 - 20:32: |
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Hi mrsmith,
Ich habe nicht geantwortet, weil die Aufgabe nicht eindeutig gestellt ist.
(So wie man bei Dir nicht weiß ob Du ein Mr Smith oder eine Mrs Mith bist).
Ich gaube auch jetzt noch, daß die Rotation um die y Achse (Symmetrieachse) erfolgen soll.
Dann ist das Ergebnis: 15392*pi/125
Mit besten Grüßen, Udo |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 09:21: |
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Hi Udo,
ich sehe dass Du Dir muehe gemacht hast.
(im gegensatz zu mir, der ich Deinem ergebnis vertraue und es nicht nachrechnen werde).
wir sind uns also einig, dass die aufgabe nicht eindeutig gestellt war. ich musste also nachfragen.
wir werden weiterhin darin uebereinstimmen, dass nur unsere beiden vorgeschlagenen rotationsachsen in frage kommen.
was *gegen* Deine interpretation der rotationsachse spricht ist folgendes:
1) der winkel wird mit theta bezeichnet. dies koennte ein hinweis darauf sein, dass es sich um eine funktion in kugelkoordinaten handelt. dann waere es natuerlich, um den azimuthwinkel zu rotieren.
2) bei Deiner interpretation ist die aufgabe redundant gestellt. warum sollte ich eine kurve, die rotiert werden soll, auf beiden seiten der rotationsachse angeben?
3) bei meiner interpretion entsteht eine geschlossene oberflaeche.
viele gruesse mrsmith
ps. die interpretation mrs mith gefaellt mir! um mehrdeutigkeit zu vermeiden koennte ich ja auch drsmith schreiben?
pps. meinst Du nicht auch, dass Danou mal danke sagen koennte? |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 15:28: |
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Das stimmt alles, nur leider ist das nicht so leicht. Ich hab das ganz schon vorgestern lösen wollen; das Integral ist krass schwierig. Ich hab (eine 5 Jahre alte Version von) Maple drauf angesetzt, die mir das Zeug nicht Integralfrei darstellen konnte!
Mein Vorschlag wäre: zuerst überprüfen zu welcher "Achse" (kartesische Koordinaten "überlagern": f=0° ist positive x-Achse) f symetrisch ist: zur y-Achse ® rotation um y-Achse. Kugelkoordinaten einführen: Ebene senkrecht zu y-Achse, "Polarform" aufstellen: 0°£j<360°; x-y-Ebene: azimuthal-Winkel -90°£J£90°.
Dann Aufstellen von rj,J was nicht schwierig sein dürfte wegen Drehsymetrie, also reduktion auf rJ.
Aufstellen des Flächenelements:
dS=4*p*rj,J2*sin(dj)*sin(dJ)=4*p*rJ2*dJ*dj
S=ò dS=ò-90° 90°ò0° 360°4*p*rJ2*dj*dJ |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 17:01: |
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hallo Thomaspreu,
du musst nicht unseren Danou verwirren!
(ausserdem hat Maple, egal wie alt, bei dieser rechnung keinen oder hoechstens geringen nutzen.)
ich sollte deshalb wohl mal die formel aus bronstein erlaeutern:
S = 2*pi*int_0^pi [y(t)*sqrt(x'^2 + y'^2)]dt
die 2*pi am anfang kommen von der integration ueber phi. nichts haengt von phi ab, also kann ich diese integration als schon gegeben ansehen.
y(t) ist der senkrechte abstand von der rotationsachse. d.h. 2*pi*y(t) ist der kreisumfang mit dem radius y(t). um daraus eine flaeche zu machen muss ich aber noch mit einer laenge in der dazu senkrechten richtung (der ebene in der die funktion gegeben ist) multiplizieren. da ist nun das problem, dass sich die kurve in beide richtungen aendert. die infinitesimale laenge in x richtung ist x'*dt, die in y richtung y'*dt. da beide richtungen senkrecht aufeinander stehen
kann der pythagoraeische lehrsatz angewandt werden. die wurzel bedeutet, dass die hypothenuse des rechtwinkligen dreiecks die infinitesimale laenge der kurve ist, die im intervall dt durchlaufen wird. also kreisumfang 2*pi*y(t) multipliziert mit der infinitesimalen laenge der kurve sqrt(x'^2 + y'^2)]dt.
ueber diesen ausdruck muss man dann nur noch integrieren.
du schreibst, dass das schon alles stimmen wuerde, (was es ja auch tut), machst aber ganz andere sachen:
1) wenn ich einen rotationskoerper bilden will, brauche ich keine symmetrische funktion. die symmetrie entsteht von alleine durch die rotation.
2) das was du den azimuthalwinkel nennst, und was eigentlich der polarwinkel ist, laeuft **nie** ueber das intervall -90°<=theta<=90°, denn wenn theta diesen bereich annehmen wollte, dann kaeme ich einmal fuer positives theta und phi im bereich 0:180° und das andere mal fuer negatives theta und phi im bereich 180°:360° jeweils zweimal an denselben punkten vorbei.
3) r(theta) ist das einzige, was in der aufgabe schon gegeben ist. das musst du also nicht mehr aufstellen.
4) Dein flaechenelement ist nicht dasselbe wie bronsteins (was das richtige ist).
es gibt zwar ein allgemeines flaechenelement in polarkoordinaten dS=r^2*dphi*d(cos(theta))= r^2*dphi*sin(theta)*dtheta, (was ich nicht in deiner rechnung wiederfinde), aber dieses gilt **nur**, wenn r konstant ist. ist also hier nicht anwendbar.
viele gruesse mrsmith (oder drsmith) |
UdoBerger
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 17:43: |
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Hallo,
Der liebe Danou liegt sicher an einem Strand in südlichen Gefielden und läßt sich die Sonne auf den Bauch brennen und uns seinen Kopf zerbrechen!
Die Formel von mrsmith ist schon richtig, nur sehe ich noch immer nicht ein, warum man um die x Achse rotieren soll (warum nicht um die Achse y= -x ? oder irgendeine andere Achse?). Die einzige Achse, die bevorzugt ist, ist die y-Achse, weil Symmetrieachse!
Ich habe übrigens mein obiges Resultat
S= 2*pi*ò x(t)*sqrt(x'² + y'²)dt in den Grenzen t=-pi/2 bis pi/2
mit Maple gerechnet.
Für die Rotation um die x Achse:
S = 2*pi*ò y(t)*sqrt(x'² + y'²)dt in den Grenzen t=0 bis pi
ergibt Maple (aus mir nicht ersichtlichen Gründen) kein Resultat!.
Ich glaube auch nicht, daß die Bezeichnung "theta" auf Kugelkoordinaten hinweist.
Der Polarkoordinatenwinkel wird zwar in Deutschland meist mit "phi" bezeichnet, in der englischen Literatur jedoch meist mit "theta".
Grüße von Udo |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 18. Juli, 2001 - 22:37: |
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Ich störe ja nur ungern eure Polarkoordinaten, aber ich habe Kugelkoordinaten verwendet, und bei denen läuft in der Regel eine (Winkel-)Koordinate über 0-360° (j) und die ander über (-90)-90° (J). Vergleich mit kartesischen Koordinaten: x-y-Ebene Polarform mit (j). Punkt mit positiven z: (J)>0°. Punkt mit negativem z: (J)<0°.
Zu meinem Flächenelement: Ich hab einfach die Fläche einer Kugel (Kugelkoordinaten) genommen 4*p*r2 und dann einen ausschnitt dj,dJ davon. sin(J) hab ich vergessen (Eine Kugelschnitt (Kreis) hat keinen Konstanten Umfang, wenn man jeweils parallele Schnitte betrachtet). Ebenfalls habe ich vergessen den Neigungswinkel t des Flächenelements gegen die Ebene normal zum zugehörigen radialvektor zu berücksichtigen; Es gilt: 1/cos(t)=m; m muss als Faktor eingehen.
Und wie du siehst hab ich mir mein Flächenelement selbst "gebastelt". Wenn ich noch was vergessen habe, dann sag's. Aber ich denke meine Integration ist ansonsten richtig. |
mrsmith
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 19. Juli, 2001 - 16:08: |
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Hallo Udo und Thomaspreu,
warum maple in dem einen fall kein resultat liefert ist mir auch voellig unklar.
meiner ansicht nach sind solche aufgaben aber auch nicht fuer maple gedacht: die vorkommenden integranden sind saemtlich produkte aus sin und cos funktionen. die wurzel kann man durch geeignete anwendung von additionstheoremen, wie ich vermute, immer wegbekommen. d.h. die aufgabe waere dann so eine art fingeruebung im integrieren und der anwendung der additionstheoreme. wie auch immer ...
kommen wir zu sachlicheren themen:
1) auf dem globus wird zwar der breitengrad vom aequator aus gemessen und bei +/-90° sind die pole, aber geographen sind keine mathematiker!
mathematiker und andere "richtige kerle" messen die "breitengrade" vom pol aus. im bronstein steht dazu ein furchtbar komplizierter text (abschnitt 2.6.5.2.2 in meiner ausgabe), der dies bestaetigt, den ich aber hier lieber nicht wiedergebe.
2) wie bestimmt man denn die flaeche einer kugel, ohne das flaechenelement zu kennen? in deinem (thomaspreu) flaechenelement steckt aber die flaeche der kugel schon drin. (zirkelschluss).
3) thomaspreu, deine idee mit dem neigungswinkel des flaechenelements gegen den radiusvektor ist genau das, was bisher noch gefehlt hat in deiner rechnung. du bezeichnest diesen winkel zwar, zeigst aber nicht auf, wie du ihn aus der gegebenen aufgabe bestimmen kannst! und gerade in der bestimmung dieses winkels liegt das problem, an dem deine rechnung sehr wahrscheinlich wieder scheitern wird.
um dieses manko zu umgehen ist es meiner meinung nach das einzig vernuenftige, auf die kartesischen koordinaten zurueckzugehen, so wie ich es getan habe.
da kriegst du diesen neigungswinkel naemlich durch den wurzelausdruck sozusagen geschenkt.
nach meiner erfahrung (von der ich in der tat ein bisschen habe) sind krummlinige koordinatensysteme wie kugelkoordinaten nur geeignet, wenn die entsprechende symmetrie vorliegt.
unser kleines problem hat z.b. drehsymmetrie, aber keine kugelsymmetrie, so dass zylinderkoordinaten das koordinatensystem der wahl darstellen. in den ebenen die durch die drehachse gehen sehen die genau so aus wie kartesische koordinaten.)
tja, was soll ich sonst noch sagen?
vielleicht: hat mich sehr gefreut mit euch zu plaudern.
viele gruesse mrsmith |
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