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lars
| | Veröffentlicht am Montag, den 09. Juli, 2001 - 21:35: | 
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Wie kann man eigentlich Integrale der Form (a*t^m+b*t^n)^(1/2) dt lösen ??????? Das würde ich doch wirklich gerne einmal wissen wollen. |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 13:47: |
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Ich habe eine ältere Version von Maple drauf losgelassen und die hat keine geschlossene Form gefunden für deine allgemeine Frage. Im Bronstein hab ich dazu auch wenig brauchbares gefunden. Ich hab mir dein Problem aber mal für ein paar Spezialfälle angesehen:
Wenn m=n dann sieht man sofort, wie's gelöst werden muss.
Wenn n=m+1 und m gerade sind (für m=n+1 gehts natürlich genauso und n gerade) kann man's umformen (a'=Öa, b'=b/a):
ò Ö(a*xm+b*xn)*dx=
ò a'*xm/2*Ö(1+b'*x)*dx
das kann man jetzt solange partiell integrieren (Konstanten beachten) (u~xi/2 v'~Ö(1+c*x)(m-i+1) (Vorfaktoren spar ich mir) ® u'~x(i-2)/2 v~Ö(1+c*x)(m-i+3)) bis vom Faktor xm/2 nur noch eine Konstante übrig ist und dann musst du nur noch ein Integral der Form ò Ö(1+c'*x)(m+1)*dx lösen, was keine Probleme bereitet. Ich entschuldige mich für meine Verhalten ohne jegliche Konstanz/Konstanten, aber in dieser allgemeinen Form wird das ziemlich kompliziert (und lästig).
Schon der Fall n=m+1 und m ungerade bereitet einiges Kopfzerbrechen; auch mit partiell integrieren kommt man nicht auf eine Form, die sich leicht lösen lässt; substituieren dürfte sich auch schwierig gestallten, aber ich hab's nicht ausprobiert.
Für was brauchst du die Monster eigentlich? Nur so oder steckt da noch mehr dahinter? |
lars
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 17:04: |
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Hallo Thomas
Danke fur dein Bemühen. Tut mir leid wenn ich dich entäuschen muß, ich brauch das eigentlich nur für die Bogenlängenberechnung der Kurve x=t^6/6 y=2-t^4/4 zwischen den Koordinatenachsen. Als Bogenelement erhält man ja (t^10+t^6)^(1/2). Weißt du wie man das lösen kann? |
Thomaspreu (Thomaspreu)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Juli, 2001 - 18:08: |
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ò Ö(x10+x6)*dx=
ò x3*Ö(x4+1)*dx
Substituieren: y=x4+1 ® dy/dx=4*x3 ® dx=dy/(4*x3)
ò x3*Ö(y)*dy/(4*x3)=
1/4*ò Öy*dy=1/4*2/3*Öy3=
(x4+1)3/2/6 |
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